Обозначим центр окружности O, радиус $R$, расстояние от O до точки $P$ через $d=OP$. Пусть через $P$ проходит прямая, образующая с направлением $OP$ угол $\varphi$ (модуль угла до линии, т.е. угол между OP и направлением хорд). Тогда:
1) Формула длины хорды.
- Перпендикулярное расстояние от O до этой прямой равно $|d\sin \varphi |$. Хорда существует, если это расстояние $\le R$. Длина хорды
$$L(\varphi )=2\sqrt{R^2-d^2{\sin }^2\varphi }.$$
2) Область определения по положению $P$.
- Если $d<R$ (P внутри окружности): прямая пересекает окружность для всех $\varphi$, длина варьирует от
$$L_{\max }=2R(\varphi =0,\text{прямая через}O)$$ до
$$L_{\min }=2\sqrt{R^2-d^2}(\varphi =\frac{\pi }{2},\text{перпендикулярно}OP).$$ - Если $d=R$ (P на окружности): $L(\varphi )=2R|\cos \varphi |$. Максимум $2R$ при $\varphi =0$, минимум $0$ при $\varphi =\pm \frac{\pi }{2}$ (касательная).
- Если $d>R$ (P вне окружности): хорды существуют только для углов, удовлетворяющих $|\sin \varphi |\le R/d$ (иначе прямая не пересекает окружность). Длина меняется от
$$L_{\max }=2R(\varphi =0)$$ до предела $L\to 0$ при $|\sin \varphi |\to R/d$ (касательная, граничное положение).
3) Экстремальные свойства.
- Наибольшая длина всегда при прямой, проходящей через центр $O$ (диаметр), $L_{\max }=2R$.
- Для $d<R$ наименьшая ненулевая длина достигается при прямой, перпендикулярной $OP$: $L_{\min }=2\sqrt{R^2-d^2}$.
- Для $d\ge R$ минимальная длина среди пересекающих прямых равна $0$ (касательная при $d=R$; при $d>R$ достижима границей допустимых углов).
4) Связь с секущими отрезками (сила точки).
- Если $A,B$ — точки пересечения прямой с окружностью, то произведение (ориентированных) отрезков от $P$ до краёв хорды имеет значение постоянное для всех хорд через $P$:
$$PA\cdot PB=d^2-R^2.$$ (По модулю $|PA|\cdot |PB|=|R^2-d^2|$; при $d<R$ знаки ориентированных отрезков дают отрицательное значение.)
5) Локус середин хорд.
- Середины всех хорд, проходящих через фиксированную точку $P$, лежат на окружности с диаметром $OP$. В координатах при $O=(0,0)$, $P=(d,0)$ это окружность
$$(x-\frac{d}{2}{)}^2+y^2=\frac{d^2}{4}.$$ (При $d=0$ эта «окружность» вырождается в точку O.)
6) Как меняется при движении $P$.
- При перемещении $P$ вдоль луча от $O$ (из центра наружу) параметр $d$ растёт:
- Для фиксированного направления $\varphi \ne 0$ длина $L(\varphi )$ убывает с ростом $d$ (поскольку подкоренное уменьшается).
- Максимум $2R$ остаётся постоянным (линия через $O$ даёт диаметр независимо от $d$).
- Для $d$ переходящим через $R$ появляется/исчезает возможность касательных: при $d<R$ все направления дают хорды, при $d\ge R$ допустимое множество направлений ограничено $|\sin \varphi |\le R/d$.
- Локус середин — окружность с центром в середине $OP$ и радиусом $d/2$ — изменяется непрерывно при движении $P$.
Кратко: длина хорды через $P$ задаётся формулой $L(\varphi )=2\sqrt{R^2-d^2{\sin }^2\varphi }$; максимум всегда при проходе хорды через центр (диаметр $2R$), минимум для $d<R$ при перпендикуляре к $OP$, для $d\ge R$ достигается нулём на касательной. Середины всех таких хорд образуют окружность с диаметром $OP$.