Обозначим векторами от вершины $A$:
$\mathbf{a}=AB,\mathbf{b}=AC,\mathbf{c}=AD.$
Площади треугольников выражаются через векторное произведение:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\Vert \mathbf{a}\times \mathbf{b}\Vert ,S_{ACD}=\frac{1}{2}\Vert \mathbf{b}\times \mathbf{c}\Vert ,S_{ABD}=\frac{1}{2}\Vert \mathbf{c}\times \mathbf{a}\Vert .$$ Площадь противоположной грани
$$S_{BCD}=\frac{1}{2}\Vert (\mathbf{b}-\mathbf{a})\times (\mathbf{c}-\mathbf{a})\Vert =\frac{1}{2}\Vert (\mathbf{a}\times \mathbf{b})+(\mathbf{b}\times \mathbf{c})+(\mathbf{c}\times \mathbf{a})\Vert .$$
Отсюда по неравенству треугольника для норм:
$$S_{BCD}\le S_{ABC}+S_{ACD}+S_{ABD}.$$ Условие равенства
$$S_{BCD}=S_{ABC}+S_{ACD}+S_{ABD}$$ равносильно случаю равенства в неравенстве треугольника для векторов
$X=\mathbf{a}\times \mathbf{b},Y=\mathbf{b}\times \mathbf{c},Z=\mathbf{c}\times \mathbf{a}$, т.е.
$$\Vert X+Y+Z\Vert =\Vert X\Vert +\Vert Y\Vert +\Vert Z\Vert .$$ Это происходит тогда и только тогда, когда $X,Y,Z$ коллинеарны и направлены в одну сторону (множители неотрицательны).
Геометрическая интерпретация: векторы $X,Y,Z$ — нормали к плоскостям граней $ABC,ACD,ABD$. Коллинеарность всех трёх норм означает, что все четыре точки $A,B,C,D$ лежат в одной плоскости (иначе две разные плоскости, проходящие через общую прямую, не могут иметь параллельные нормали). Следовательно, равенство возможно только в вырожденном случае — когда тетраэдр плоский (точки копланарны). В этом плоском случае равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка $A$ лежит внутри треугольника $BCD$: тогда треугольники $ABC,ACD,ABD$ разрезают треугольник $BCD$ на три неперекрывающихся части и их площади складываются в площадь $BCD$. Если же $A$ вне треугольника $BCD$, суммы площадей «малых» треугольников превосходит площадь $BCD$.
Связь с векторными свойствами и центрами масс (барицентрическая интерпретация):
если в плоском случае $A$ лежит внутри $BCD$, то выполняются равенства
$${\lambda }_B=\frac{S_{ACD}}{S_{BCD}},{\lambda }_C=\frac{S_{ABD}}{S_{BCD}},{\lambda }_D=\frac{S_{ABC}}{S_{BCD}},$$ и
$${\lambda }_B+{\lambda }_C+{\lambda }_D=1,A={\lambda }_{B}B+{\lambda }_{C}C+{\lambda }_{D}D.$$ То есть координаты $A$ в базисе $B,C,D$ — барицентрические веса, пропорциональные площадям противоположных граней; это эквивалентно утверждению: если положить в вершины $B,C,D$ массы ${\lambda }_B,{\lambda }_C,{\lambda }_D$, то их центр масс совпадёт с $A$.
Итого:
- Всегда $S_{BCD}\le S_{ABC}+S_{ACD}+S_{ABD}$.
- Равенство наступает тогда и только тогда, когда тетраэдр вырожден (копланарные точки) и $A$ находится внутри треугольника $BCD$; в этом случае площади дают барицентрические (центр масс) коэффициенты, перечисленные выше.