Краткая педагогическая последовательность и обоснование введения инверсии в школьный курс.
1) Мотивация: одномерный аналог
- Начать с преобразования на прямой $x\mapsto 1/x$ (или $x\mapsto a^2/x$) — легко показать инволютивность, обмен малых и больших чисел, простые графики. Это даёт интуицию «обращения» расстояний.
2) Определение и первая иллюстрация
- Определение: инверсия с центром $O$ и радиусом $r$ переводит точку $P\ne O$ в точку $P^{\prime }$ на луче $OP$ так, что
$$OP\cdot O{P}^{\prime }=r^2.$$ - Показать конструкцию $P^{\prime }$ через подобие треугольников (т.е. построить длину $O{P}^{\prime }=\frac{r^2}{OP}$), или на платформах (GeoGebra) — немедленная визуализация.
3) Базовые факты (включить как теоремы с короткими доказательствами)
- Инволюция: для любой $P\ne O$ $(P^{\prime }{)}^{\prime }=P$.
- Линии и окружности:
- прямая, проходящая через $O$, отображается в себя;
- прямая, не проходящая через $O$, отображается в окружность, проходящую через $O$;
- окружность, проходящая через $O$, отображается в прямую, не проходящую через $O$;
- окружность, не проходящая через $O$, отображается в окружность, не проходящую через $O$.
(Доказательства чередовать: для первой пары — построением по лучам; для второй — через мощность точки и подобие.)
- Тангенциальность: инверсия сохраняет касание (точка касания переводится в точку касания).
- Углы: инверсия сохраняет модуль угла (конформность), но меняет ориентацию.
4) Дополнительные удобные свойства для задач
- Окружности, ортогональные окружности инверсии, отображаются в сами себя.
- Центр окружности в общем случае не переходит в центр образа — это частая ошибка; лучше оперировать с кругами как множествами точек, а не с центрами.
- Коаксиальность и радикальная ось: инверсия упрощает конфигурации со взаимными касаниями/параллельностью.
5) Педагогическая последовательность уроков (примерный план)
- Урок 1: одномерный пример и определение инверсии; простая конструкция образа точки.
- Урок 2: инволюция; образы прямых и окружностей с доказательствами (через подобие/мощность точки).
- Урок 3: сохранение углов, касание, ортогональность; упражнения на распознавание случаев.
- Урок 4: практические приёмы: выбор центра/радиуса инверсии (центр в точке касания упрощает касательные задачи; радиус выбирают так, чтобы какая‑то окружность отображалась в себя).
- Урок 5: разбор «классических» задач и самостоятельная работа.
- Урок 6: (опционально) координатный/комплексный подход: формула (при $O$ в начале координат)
$$x^{\prime }=\frac{r^2}{\Vert x{\Vert }^2}x,\text{или в комплексной форме}{z}^{\prime }=\frac{r^2}{\overline{z}},$$ как инструмент вычислений.
6) Лучшие модели и задачи для демонстрации силы метода
- Классика: задача о окружности, касающейся двух данных окружностей и прямой — инверсия в точке касания сводит задачу к касанию двух параллельных прямых и окружности (очень просто).
- Задачи на касания нескольких окружностей (Апполоний и частные случаи): инверсия часто даёт редукцию к случаям с точками и прямыми.
- Геометрические свойства: доказать, что центры гомотетии двух окружностей соответствуют пересечениям образов и т.п.
- Задачи олимпиадного уровня: преобразовать сложную систему касаний и пересечений в конфигурацию с прямыми, где решения очевидны (на примерах учащиеся увидят «волшебство» инверсии).
- Визуальные эксперименты в GeoGebra: динамическое наблюдение отображений окружностей и углов.
7) Типичные ошибки и как их избегать
- Ошибка: думать, что инверсия сохраняет расстояния или центры окружностей. Исправление: подчеркнуть, что сохраняются углы, а не длины; центры обычно не переходят в центры.
- Ошибка: путать случаи «прямая через $O$» и «прямая не через $O$». Исправление: всегда анализировать положение $O$ относительно каждого объекта.
- Ошибка: забывать, что точка $O$ не имеет образа (особый случай). Объяснить, что её «образ» можно рассматривать как точка в бесконечности в соответствующей модели.
- Ошибка: неверно применять инверсию без подходящего выбора центра/радиуса. Советуйте подумать: какую простую фигуру я хочу получить в образе (прямую, саму окружность и т. п.) — и выбрать центр/радиус соответственно.
- Ошибка: некорректное обращение с ориентированными углами (инверсия меняет ориентацию). Решение: работать с модулем угла или явно учитывать смену ориентации.
- Ошибка в построениях: пытаться «инвертировать центр окружности» как бы по привычному правилу — лучше строить образы нескольких характерных точек окружности и восстанавливать окружность как образ множества точек.
8) Практические рекомендации учителю
- Начинать с наглядных примеров в GeoGebra, затем переходить к доказательствам.
- Постепенно вводить более сложные задачи: сначала одна касательная, затем два‑три объекта.
- Стимулировать выбор центра инверсии учениками (различные выборы дают разные упрощения).
- Подчёркивать типовые «шаблоны» задач, где инверсия особенно эффективна (касания, параллельность, точки в бесконечности).
Коротко: дать интуицию через однообразный пример $x\mapsto a^2/x$, определить инверсию геометрически, доказать основные свойства (инволюция, образы прямых/окружностей, сохранение углов, касание, ортогональность), отработать в задачах выбора центра/радиуса и показать несколько классических задач, предупреждая о перечисленных типичных ошибках.