Коротко — при усечении параллельной плоскостью основания единственная необходимая и достаточная условие: сфера должна быть одновременно касательной к двум параллельным основаниям, значит её центр лежит на середине высоты усечённой пирамиды и радиус равен половине высоты усечённой части; дальше это даёт соотношение с инрадиусом аффинного (поперечного) треугольника секущей плоскости. Формулы и конструкции ниже.
Обозначения:
- $H$ — высота полной пирамиды $SABC$ (расстояние от $S$ до плоскости основания $ABC$);
- $\rho$ — инрадиус треугольника основания $ABC$ (радиус вписанной окружности);
- усечённая пирамида получается сечением плоскостью, параллельной $ABC$, на высоте $h$ от основания (высота усечённой пирамиды равна $h$);
- $r$ — радиус вписанной сферы.
Уравнения (логика):
- так как сфера касательна к двум параллельным основаниям, то
$$r=\frac{h}{2}.$$ - поперечное сечение плоскостью, проходящей через центр сферы (плоскостью на высоте $h/2$), — треугольник, подобный $ABC$; его инрадиус равен масштабу подобия умноженному на $\rho$, т.е.
$$r=(1-\frac{h}{2H})\rho .$$ Решая систему получаем необходимое и достаточное условие для $h$ и выражения для $r$:
$$\frac{h}{2}=(1-\frac{h}{2H})\rho ⟹h=\frac{2H\rho }{H+\rho },$$ $$r=\frac{h}{2}=\frac{H\rho }{H+\rho }.$$
Замечания:
- При данном $S$ и основании $ABC$ существует не более одна высота $h$ (т. е. одна усечённая пирамида), для которой вписанная сфера возможна; радиус данной сферы даётся формулой выше.
- эквивалентная запись через отношение подобия верхнего и нижнего треугольников: если масштаб верхнего основания относительно нижнего равен $k=(H-h)/H$, то условие эквивалентно $k=(H-\rho )/(H+\rho )$.
Геометрическая конструкция центра сферы:
1. Постройте инцентр $I$ треугольника основания $ABC$.
2. Проведите прямую $SI$. Центр сферы лежит на этой прямой.
3. Проведите плоскость, параллельную $ABC$, на высоте $h/2$ (середина высоты усечённой пирамиды) — её пересечение с $SI$ даёт центр $O$.
Альтернативно: постройте поперечный треугольник на высоте $h/2$ (он подобен основанию) и его инцентр — это проекция центра сферы в этой плоскости; расстояние от этой точки до любой из параллельных оснований равно $r$.
Итоговые формулы:
$$h=\frac{2H\rho }{H+\rho },r=\frac{H\rho }{H+\rho },r=\frac{h}{2}.$$