Кратко и по делу.
Обозначим стороны треугольника через $a=BC,b=CA,c=AB$ и положим
$S_1=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2,S_2=M{A}_m^2+M{B}_m^2+M{C}_m^2$,
где $A_m,B_m,C_m$ — середины сторон $BC,CA,AB$. Пусть $p=a^2+b^2+c^2$.
1) Связь $S_1$ и $S_2$. По формуле для расстояния до середины:
$$M{A}_m^2=\frac{M{B}^2+M{C}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4},$$ и аналогично для остальных середин. Суммируя получаем
$$S_2=S_1-\frac{p}{4}.$$ Отсюда условие $S_1/k=S_2$ эквивалентно
$$S_2=\frac{p}{4(k-1)}.$$ Из этого следует сразу необходимость $k>1$ (иначе правая часть $\le 0$ и решений нет).
2) Центр и вид геометрического места. Пусть $G$ — центроид треугольника. Общая формула для сумм квадратов даёт
$$S_2=3M{G}^2+\sum G{A}_m^2.$$ Известно также $\sum G{A}^2=\frac{p}{3}$. Поэтому
$$\sum G{A}_m^2=\sum G{A}^2-\frac{p}{4}=\frac{p}{12},$$ и, значит,
$$S_2=3M{G}^2+\frac{p}{12}.$$ Сравнивая с предыдущим выражением для $S_2$ получаем радиус уровня:
$$M{G}^2=\frac{p(4-k)}{36(k-1)}.$$
3) Итог (в зависимости от $k$):
- Для $1<k<4$ множество точек $M$ — окружность с центром в центроиде $G$ и радиусом
$$R=\sqrt{\frac{p(4-k)}{36(k-1)}}.$$ - Для $k=4$ единственная точка — центроид $M=G$.
- Для $k\le 1$ или $k>4$ реальных точек не бывает.
Связь с центроидом: центроид $G$ — центр всех этих окружностей; при $k=4$ получается единственная точка $G$.
Про «параболический набор точек»: в данной задаче множество является кругом (или точкой), параболических линий не возникает. При предельном приближении $k\to 1^{+}$ радиус стремится к бесконечности (окружности раздуваются до «практически плоскости»), но это не даёт параболы.