Обозначения: стороны $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$; углы напротив соответствующих сторон $A,B,C$.
1) Теорема синусов — доказательство через описанную окружность (классическое)
- Если $R$ — радиус описанной окружности, то хорда длины $a$ соответствует центральному углу $2A$, значит
$$a=2R\sin A.$$ Аналогично $b=2R\sin B,c=2R\sin C$. Отсюда
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$$
Краткое альтернативное замечание: используя площадь $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ и формулу $S=\frac{abc}{4R}$ получается то же равенство.
2) Теорема косинусов — доказательство через скалярное произведение (векторы)
- Представим стороны как векторы: пусть $b=CA$, $c=BA$. Тогда
$$BC=b-c,$$ и квадрат длины
$$a^2=|b-c{|}^2=|b{|}^2+|c{|}^2-2b\cdot c=b^2+c^2-2bc\cos A.$$ Это и есть закон косинусов.
3) Теорема косинусов — доказательство через проекции (геометрически)
- Бросим перпендикуляр из точки $C$ на $AB$ в точке $D$. Тогда проекция $CD=h$, проекции $AD=x,DB=a-x$. Имеем
$$c^2=x^2+h^2,b^2=(a-x{)}^2+h^2.$$ Вычитая, получаем $c^2-b^2=x^2-(a-x{)}^2=2ax-a^2$, откуда $x=\frac{c^2-b^2+a^2}{2a}$. Подставляя в $c^2=x^2+h^2$ и упрощая, выводим
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$ (При этом $x=b\cos A$, что даёт более короткий путь: раскрыть $(b\cos A-c{)}^2+(b\sin A{)}^2$.)
4) Теорема синусов и косинусов — доказательство на комплексной плоскости (через поворот)
- Поставим $A$ в начало: $z_A=0$, положим $z_B=c$ (реальное), $z_C=b{e}^{iA}$. Тогда
$$a^2=|z_B-z_C{|}^2=(c-b{e}^{iA})(c-b{e}^{-iA})=b^2+c^2-2bc\cos A,$$ получаем закон косинусов. Для закона синусов: если вершины лежат на окружности радиуса $R$, то хорда между углами с разностью аргументов $\theta$ имеет длину $2R\sin (\theta /2)$, т.е. $a=2R\sin A$.
5) Теорема синусов — доказательство через площадь
- Площадь $S$ равна одновременно $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$. Деление этих выражений даёт
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$$
Краткий анализ преимуществ подходов
- Описанная окружность / вписанные углы (синусы): лучше для чисто синтетических задач, где задействована окружность, углы и соотношения хорд; даёт лёгкое выражение через $R$.
- Площадная формула (синусы): удобна при задачах с площадями, когда известны высоты или требуется соотнести стороны и углы через $S$.
- Вектор / скалярное произведение (косинусы): наиболее естествен для аналитических и многомерных обобщений, хорошо работает в задачах с координатами, векторными равенствами и при доказательстве неравенств.
- Проекции / координаты: удобны при вычислениях конкретных чисел, при разбиении на прямоугольные треугольники, при задачах на длины проекций и при построении геометрических алгоритмов.
- Комплексные числа / повороты: эффективны, когда важны ориентация, повороты или удобны множества экспонент; хороши для компактных алгебраических выводов и для задач с симметриями и преобразованиями плоскости.
Вывод: выбирайте метод по характеру задачи — синтетический (окружность/площадь) для чистой геометрии, векторный или координатный для вычислений/обобщений, комплексный для задач с поворотами и компактными алгебраическими преобразованиями.