Кратко и по делу.
Основные свойства инверсии (центр $O$, радиус $R$):
- Точкам $X$ соответствуют $X^{\prime }$ на луче $OX$ с $OX\cdot O{X}^{\prime }=R^2$: $OX\cdot O{X}^{\prime }=R^2.$ - Прямая, не проходящая через $O$, переходит в окружность, проходящую через $O$; прямая через $O$ остается прямой.
- Окружность, не проходящая через $O$, переходит в окружность; окружность, проходящая через $O$, переходит в прямую.
- Инверсия конформна: сохраняет величины углов (ориентация меняется).
- Инверсия сохраняет касательность и ортогональность (если две фигуры касаются/ортогональны, их образы также).
Образы стандартных элементов треугольника $ABC$ (предполагаем, что $O$ не лежит на сторонах и не внутри треугольника):
1. Вершины и стороны:
- $A,B,C\mapsto A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ на лучах $OA,OB,OC$ с $OA\cdot O{A}^{\prime }=R^2$ и т.д.
- Каждая сторона (например, $BC$), не проходящая через $O$, переходит в окружность ${\Gamma }_{BC}^{\prime }$, проходящую через $O,B^{\prime },C^{\prime }$.
2. Высоты:
- Высота из $A$ — прямая $h_a$, перпендикулярная $BC$. Если $h_a$ не проходит через $O$, её образ — окружность $h_a^{\prime }$, проходящая через $O$ и $A^{\prime }$.
- Так как $h_a\perp BC$, образы $h_a^{\prime }$ и ${\Gamma }_{BC}^{\prime }$ пересекаются под прямым углом (инверсия сохраняет углы). То есть: образы высот — окружности через $O$, ортогональные образам соответствующих сторон.
- Ортоцентр $H$ (пересечение высот) переходит в точку $H^{\prime }$, пересечение соответствующих окружностей $h_a^{\prime },h_b^{\prime },h_c^{\prime }$.
3. Медианы:
- Медиана $AM$ (с $M$ — середина $BC$) как прямая, не проходящая через $O$, переходит в окружность $(AM{)}^{\prime }$ через $O$ и $A^{\prime }$ и образ середины $M^{\prime }$.
- Конкурентность медиан (центроид $G$) сохраняется: образы трёх медиан — три окружности через $O$, пересекающиеся в $G^{\prime }$ (образе $G$). Однако свойство «делит сторону пополам» не сохраняется прямолинейно: $M^{\prime }$ не обязательно середина отрезка $B^{\prime }{C}^{\prime }$.
4. Серединные перпендикуляры:
- Перпендикуляр к $BC$ через его середину (прямая) перейдёт в окружность через $O$, ортогональную ${\Gamma }_{BC}^{\prime }$.
- Пересечение таких образов даёт образ окружности описанной: образ описанного центра $O_c$ — точка пересечения соответствующих окружностей.
Какие инварианты сохраняются и почему это полезно:
- Сохраняются: инцидентность (коллинеарность/цикличность в форме «точки на одной прямой/окружности» с учётом преобразования), углы по величине, касательность, ортогональность, конкуренция (совпадение точек пересечения).
- Не сохраняются прямые расстояния и непрерывные отношения деления отрезков (смешиваются по формуле $OX\cdot O{X}^{\prime }=R^2$).
Как это помогает в задачах на касательные и вписанные окружности (алгоритмы и идеи):
- Превратить окружность в прямую: если выбрать центр инверсии в точке касания двух окружностей (или в точке на одной из окружностей), соответствующая окружность перейдёт в прямую — касательность превращается в касание прямой и окружности, часто упрощая задачу.
- Выбирать центр инверсии в вершине угла: окружности, касающиеся двух сторон угла, часто переводятся в прямые/окружности, которые легко анализировать; угол и биссектриса сохраняются, поэтому условия касания переводятся в условиях симметрии вдоль биссектрисы.
- Преобразовать задачу о касательной к описанной (или вписанной) окружности в задачу о касательной к прямой: например, инверсия, берущая описанную окружность $(ABC)$ в прямую (центр инверсии на $(ABC)$), превращает требование касания к $(ABC)$ в требование касания к прямой — часто даёт линейные соотношения и упрощает построение центров.
- Использовать сохранение ортогональности: если искомая окружность должна быть ортогональна данной (или окружности инверсии), она может остаться самой собой или перейти в простую фигуру, что резко упрощает поиск центров (центр искомой окружности лежит на образе перпендикуляров и т.д.).
- Конкурентность/коллинеарность: теоремы типа Чевы/Менелая переводятся через инверсию в эквивалентные условия, часто давая более простые конфигурации.
Короткие практические советы:
- Выбирать центр инверсии в точке касания, вершине угла или на важной окружности (например, на $(ABC)$), чтобы перевести одну из критических фигур в прямую.
- Подбирать радиус так, чтобы некоторые точки превращались в удобные (иногда $R^2=AB\cdot AC$ даёт симметричные образы).
- После инверсии решить задачу в упрощённой конфигурации (линии ↔ окружности, касание ↔ касание) и вернуть образ обратно, используя правило $OX\cdot O{X}^{\prime }=R^2$.
Итого: инверсия переводит высоты, медианы и серединные перпендикуляры (линии) в окружности через $O$ (если линии не проходят через $O$); сохраняет углы, касательность, ортогональность и конкуренцию — это даёт мощный инструмент для преобразования задач о касательных и вписанных окружностях в более простые геометрические ситуации (линии, ортогональные окружности, коллинеарности), которые легче анализировать.