Обозначим пересечение диагоналей $O$. Пусть $AC=p,BD=q,AO=x,CO=p-x,BO=y,DO=q-y$. Так как диагонали вписанного четырехугольника пересекаются внутри окружности, по теореме о секущих
$$x(p-x)=y(q-y)=t>0.$$ Поскольку диагонали перпендикулярны, углы в вершине $O$ равны $90^{\circ }$, поэтому
$$A{B}^2=A{O}^2+B{O}^2=x^2+y^2,C{D}^2=C{O}^2+D{O}^2=(p-x{)}^2+(q-y{)}^2.$$ Суммируя и раскрывая скобки, с учётом $x(p-x)=t$ и $y(q-y)=t$, получаем
$$A{B}^2+C{D}^2=x^2+y^2+(p-x{)}^2+(q-y{)}^2=p^2+q^2-4t.$$ По неравенству между средней арифметической и геометрической для положительных чисел
$$AB\cdot CD\le \frac{A{B}^2+C{D}^2}{2}=\frac{p^2+q^2-4t}{2}.$$ Поскольку $t>0$ для невырожденного вписанного четырёхугольника, правое выражение строго меньше $p^2+q^2$. Значит
$$AB\cdot CD<p^2+q^2.$$ Аналогично для другой пары противоположных сторон:
$$BC\cdot AD<p^2+q^2.$$
Вывод: при ненулевом (невырожденном) вписанном четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями ни одно из произведений длин противоположных сторон не равно сумме квадратов диагоналей. Равенство могло бы наступить только при $t=0$ (диагонали пересекаются на окружности), что даёт вырожденный случай, поэтому для невырожденного четырёхугольника требуемое равенство невозможно.