Постановка. Пусть зеркало — прямая (2D) или плоскость (3D). Для переменной точки касания $T$ нужно минимизировать
$$f(T)=|AT|+|TB|$$ при ограничении на угол падения $\varphi (T)\le {\varphi }_{\max }$, где $\varphi (T)$ — угол между лучом $AT$ и нормалью к зеркалу в точке $T$.
Геометрическая стратегия (конструкция):
1. Отразите точку $B$ относительно зеркала в точку $B^{\prime }$. Тогда для любой точки $T$ на зеркале $|TB|=|T{B}^{\prime }|$, и задача без ограничения равносильна минимизации расстояния $|AT|+|T{B}^{\prime }|$. Минимум достигается тогда, когда $A$ и $B^{\prime }$ соединяет прямая, пересекающая зеркало в искомой точке $T^{\ast }$. Это даёт классическое правило отражения: угол падения равен углу отражения.
2. Проверьте ограничение: если $\varphi (T^{\ast })\le {\varphi }_{\max }$, то $T^{\ast }$ — решение задачи с ограничением (оно не активно).
3. Если $\varphi (T^{\ast })>{\varphi }_{\max }$, то ограничение активно. Тогда решение лежит на множестве точек зеркала, где $\varphi (T)={\varphi }_{\max }$. В 2D это, как правило, одно- или двухточечный набор на прямой; в 3D — кривая на плоскости. Нужно минимизировать $f(T)$ лишь по этому множеству (то есть уменьшить задачу до одномерного минимума по параметру $s$ вдоль этой кривой). Практически: параметризовать точки $T(s)$ на зеркале с условием $\varphi (T(s))={\varphi }_{\max }$ и найти минимум $f(T(s))$. Геометрически это означает: среди всех допустимых лучей с граничным углом падения выбрать тот, который даёт наименьшую сумму расстояний.
Связь с методом вариаций и правилом равенства углов:
- Метод отражения — чисто геометрическое решение конечномерной задачи минимизации $f(T)$. Он даёт необходимое условие стационарности в виде закона отражения.
- Метод вариаций (или принцип Ферма/Эйлера) для этой задачи даёт те же условия: рассматривая $T$ как переменную и варьируя путь, получаем стационарное условие
$$\frac{T-A}{|T-A|}+\frac{T-B}{|T-B|}\perp \text{тангенциальное направление зеркала}.$$ Проекция этого равенства на касательное направление к зеркалу даёт условие равенства углов падения и отражения (в случае неактивного ограничения).
- При наличии нестрогого неравенства $\varphi (T)\le {\varphi }_{\max }$ вариационный подход даёт условия Каруша—Куна—Таккера: либо стандартное условие отражения и $\varphi (T)<{\varphi }_{\max }$ (ограничение не активно), либо ограничение активно ($\varphi (T)={\varphi }_{\max }$) и появляется множитель Лагранжа; тогда равенство углов в общем виде нарушается, и стационарность выражается тем, что производная $f$ по перемещению вдоль поверхности при сохранении $\varphi ={\varphi }_{\max }$ равна нулю (т.е. минимум по границе множества допустимых $T$).
Итоговые практические правила:
- Сначала примените отражение $B\mapsto B^{\prime }$ и найдите пересечение прямой $A{B}^{\prime }$ с зеркалом. Если угол падения там удовлетворяет ограничению, это решение.
- Если не удовлетворяет, ограничьте поиск точками с $\varphi ={\varphi }_{\max }$ и найдите минимум $f$ по этой одномерной задаче (аналитически через уравнения или численно). Это гарантированно даёт глобальный оптимум с активным ограничением.