Дано на окружности четыре точки $A,B,C,D$ (в произвольном порядке по окружности) и известно
$$AB\cdot CD=BC\cdot DA.$$
Кратко — все существенные выводы, доказательства и примеры.
1) Перепись и эквивалентные формы.
- Можно записать как отношение
$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}.$$ - Аналогично $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}$ и т.д. (перестановки факторов дают очевидные равенства).
2) Сходство и совпадение треугольников (ключевой вывод).
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$, которые имеют равные углы при вершинах $B$ и $D$, поскольку оба эти угла опираются на одну и ту же хорду $AC$: $\angle ABC=\angle ADC$. По условию отношения смежных сторон равны:
$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}.$$ Следовательно, по признаку SAS (две стороны и включённый угол) треугольники $ABC$ и $ADC$ подобны. Но соответствующая сторона $AC$ совпадает с самой собой, следовательно масштабный коэффициент равен $1$. Значит треугольники конгруэнтны, и получаем строгие равенства сторон:
$$AB=AD,BC=CD.$$
3) Геометрические следствия из пункта 2.
- Отсюда $AC$ — биссектриса угла $\angle BAD$ и одновременно биссектриса $\angle BCD$:
$$\angle BAC=\angle DAC,\angle BCA=\angle ACD.$$ - От конгруэнтности также следует, что отражение точки $B$ относительно прямой $AC$ даёт точку $D$. Следовательно прямая $AC$ — ось симметрии для отрезка $BD$: она проходит через середину $BD$ и перпендикулярна ему:
$$AC\perp BD,\text{и середина}M\text{отрезка}BD\text{лежит на}AC.$$ - Следовательно $B$ и $D$ симметричны относительно линии $AC$; дуги $AB=AD$ и $CB=CD$ (равные хорды соответствуют равным дугам).
4) Связь с теоремой Птолемея.
Для любых четырёх точек на окружности выполняется равенство Птолемея
$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA.$$ Подставляя условие $AB\cdot CD=BC\cdot DA$ получаем
$$AC\cdot BD=2\cdot AB\cdot CD.$$ Если дополнительно использовать выводы из пункта 2 (например $AB=AD$, $BC=CD$), можно упростить и получить численные выражения для $BD$ через $AC$ и др.
5) Примеры конфигураций.
- Симметричный пример на единичной окружности: пусть $A$ в полярном угле $0$, $C$ в угле $\pi$ (диаметр), берем $B$ в угле $\theta$, а $D$ в угле $-\theta$. Тогда хорды
$$AB=2\sin \frac{\theta }{2},BC=2\cos \frac{\theta }{2},CD=2\cos \frac{\theta }{2},DA=2\sin \frac{\theta }{2},$$ и действительно
$$AB\cdot CD=BC\cdot DA=(2\sin \frac{\theta }{2})(2\cos \frac{\theta }{2})=2\sin \theta .$$ Это реализация вывода: $B$ и $D$ — симметричны относительно $AC$.
- Частные случаи: если точки совпадают (например $B=D$ или $A=C$), условие выполняется тривиально (некоторые хорды нулевые) — вырожденный случай.
6) Перестановки и другие возможные равенства.
- Условие на продукт двух противоположных пар хорд можно записать в любом циклическом сдвиге: если вместо $AB\cdot CD=BC\cdot DA$ рассматривать, скажем, $BC\cdot DA=CD\cdot AB$, это то же самое; но если утверждать, напр., $AB\cdot CD=AC\cdot BD$, то по Птолемею тогда $BC\cdot DA=0$, что означает вырождение (одна из точек совпадает с другой).
- Для ориентированных (signed) хорд равенство может иметь и знак-особенности; выше сделаны выводы для обычных положительных длин.
7) Итог (кратко).
Условие
$$AB\cdot CD=BC\cdot DA$$ на четырёх различных точках на окружности эквивалентно тому, что треугольники $ABC$ и $ADC$ конгруэнтны, что даёт
$$AB=AD,BC=CD,$$ и геометрически означает, что $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$ (линия $AC$ — общая биссектриса и перпендикуляр к $BD$). Птолемеево равенство в этом случае даёт дополнительно $AC\cdot BD=2AB\cdot CD$. Вырожденные случаи: совпадения точек или ориентированные длины дают тривиальные или особые решения.