Кратко введу обозначения, опишу построение, докажу главный простой факт и приведу исследование пересечений и частные симметрии.
Обозначения и построение
- Треугольник $ABC$ — произвольный (остроугольный для удобства, но рассуждения адаптируются).
- Для вершины $A$: $m_a$ — медиана $A$ (прямая $A$–середина $M_{BC}$), $h_a$ — высота из $A$ (прямая, проходящая через $A$ и перпендикулярная $BC$).
- Пусть $l_a$ — прямая через $A$, полученная симметрией высоты $h_a$ относительно медианы $m_a$. Аналогично $l_b,l_c$.
1) Лёгкий геометрический факт (основание всех последующих рассуждений)
- Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Обозначим через $H_a$ образ точки $H$ при зеркальном отражении относительно прямой $m_a$. Тогда
$$l_a=A{H}_a.$$ Доказательство. Точка $H$ лежит на высоте $h_a$. Отражение прямой $h_a$ относительно $m_a$ — это прямая, проходящая через образ любой её точки при этом отражении; в частности образом $H$ будет $H_a$, образом $A$ остаётся $A$. Значит отражённая прямая есть прямая $A{H}_a$, т.е. $l_a=A{H}_a$. □
Следствие: каждая из трёх построенных прямых проходит через соответствующую отражённую точку ортоцентра.
2) Общая картина пересечений
- В общем (для несимметричных треугольников) прямые $l_a,l_b,l_c$ попарно пересекаются и образуют своё «вторичное» треугольник
$$P_{ab}=l_a\cap l_b,P_{bc}=l_b\cap l_c,P_{ca}=l_c\cap l_a.$$ Эти три точки обычно различные (то есть прямые не конкурентны в общем положении).
- Геометрически каждое пересечение, например $P_{ab}$, лежит на двух прямых вида $A{H}_a$ и $B{H}_b$. Поэтому вершины треугольника $P_{ab}{P}_{bc}{P}_{ca}$ однозначно выражаются через отражения ортоцентра по медианам.
3) Частные случаи симметрии (когда конфигурация упрощается)
- Равнобедренный треугольник с равными сторонами $AB=AC$: медиана $m_a$ — также ось симметрии треугольника, она совпадает с высотой из $A$. Тогда $l_a=h_a=m_a$. Прямые $l_b$ и $l_c$ симметричны относительно оси $m_a$; поэтому они пересекаются на этой оси. Значит в равнобедренном случае $l_a,l_b,l_c$ пересекаются в одной точке (ось симметрии) — т.е. получается конкуренция всех трёх прямых.
- Равносторонний треугольник: медианы=высоты=биссектрисы, поэтому все $l_a$ совпадают с медианами и пересекаются в центре симметрии (центре треугольника).
4) Свойства и инварианты (замечания, доказываемые напрямую)
- Поскольку $l_a$ — образ $h_a$ при отражении относительно $m_a$, угловая величина между $l_a$ и медианой $m_a$ равна угловой величине между $h_a$ и $m_a$. Это даёт простой способ вычислить направление $l_a$ через углы треугольника:
$$\angle (l_a,m_a)=\angle (m_a,h_a).$$ - Конфигурация симметрична относительно отражений по медианам: отражение всей фигуры относительно $m_a$ переводит высоту $h_a$ в $l_a$ и делает аналогичные преобразования для соседних прямых.
5) Как аналитически исследовать пересечения (рекомендация)
- Чтобы получить явные формулы для координат точек пересечения, удобно поставить координатную систему так, чтобы сторона $BC$ — ось $x$. Тогда $h_a$ будет вертикальна, $m_a$ проходит через $A$ и середину $M_{BC}$; направление $l_a$ находится как отражение вертикали относительно прямой $A{M}_{BC}$. Практически: если угол медианы с горизонталью равен $\theta$, то направление высоты даёт угол $\frac{\pi }{2}$, а направление $l_a$ имеет угол
$${\varphi }_a=2\theta -\frac{\pi }{2},$$ откуда уравнение $l_a$ легко записывается и пересечение $l_a\cap l_b$ находится решением линейной системы. Это даёт полный алгебраический критерий (и проверку особых случаев).
6) Итог и предложение
- В общем положении три линии не конкурируют и дают треугольник, вершины которого — пересечения пар отражённых высот; эти вершины выражаются через образы ортоцентра при отражениях относительно медиан.
- Частные симметричные случаи: при равнобедренности все три линии пересекаются (ось симметрии), при равносторонности они совпадают (единственная точка пересечения — центр).
Если нужно, могу:
- 1) дать детализованную координатную или комплексную выкладку и вывести явные формулы для точек $P_{ab},P_{bc},P_{ca}$ (с подстановкой конкретных координат вершин);
- 2) построить (поэтапно описать) доказательство критерия конкурентности (и показать, что оно эквивалентно условию равнобедренности).