Пусть прямая, содержащая отрезок $AB$, обозначена $\ell$. Ищем множество точек $X=(x,y)$ таких, что
$$\frac{d(X,A)}{d(X,\ell )}=\lambda >0.$$ Выберем систему координат с $\ell :y=0$ и положим $A=(0,a)$ (тогда $a=d(A,\ell )$). Условие даёт
$$\sqrt{x^2+(y-a{)}^2}=\lambda |y|,$$ квадратируя,
$$x^2+(y-a{)}^2={\lambda }^2{y}^2⟹x^2+(1-{\lambda }^2)y^2-2ay+a^2=0.\text{\hspace{1em}(*)}$$
Интерпретация и типы кривых:
- Случай $a\ne 0$ (точка $A$ не лежит на прямой $\ell$). Коэффициенты в $(\ast )$ дают дискриминант по квадратичной форме
$$\Delta =-4(1-{\lambda }^2).$$ Следовательно:
- $0<\lambda <1$: $\Delta <0$ — кривая является эллипсом (замкнутая, топологически окружность). Это классическое определение эллипса через фокус и директрису (эксцентриситет $=\lambda$).
- $\lambda =1$: $\Delta =0$ — парабола (одна ветвь, незамкнутая).
- $\lambda >1$: $\Delta >0$ — гипербола (две расходящиеся ветви).
- Случай $a=0$ (точка $A$ лежит на $\ell$). Тогда из $\sqrt{x^2+y^2}=\lambda |y|$ после возведения в квадрат получаем
$$x^2+(1-{\lambda }^2)y^2=0.$$ Отсюда:
- $0<\lambda <1$: единственное решение $x=0,y=0$ — единственная точка $A$ (вырожденный случай).
- $\lambda =1$: $x=0$ — прямая, проходящая через $A$ и перпендикулярная $\ell$.
- $\lambda >1$: $x^2=({\lambda }^2-1)y^2$ — две прямые, проходящие через $A$ (вырожденная гипербола).
Кратко по топологии: при $a\ne 0$ и $\lambda <1$ — связная замкнутая кривая (эллипс), при $\lambda =1$ — несвязная? нет, одна ветвь (парабола, тип $\mathbb{R}$), при $\lambda >1$ — две несвязные ветви (гипербола, две компоненты, каждая гомеоморфна $\mathbb{R}$). Вырожденные случаи описаны выше для $a=0$.
Итого: множество точек — обобщённые коники (фокус $A$, директриса $\ell$) с эксцентриситетом $\lambda$; в случае пересечения фокуса с директрисой возникают вырождения (точка, прямая или пара прямых) в зависимости от $\lambda$.