Кратко — определение и ключевые свойства:
- Инверсия относительно окружности с центром $O$ и радиусом $r$: каждому точечному $X\ne O$ ставится в соответствие $X^{\prime }$ на луче $OX$ так, что $\overline{OX}\cdot \overline{O{X}^{\prime }}=r^2$. (Запишем: $O{X}^{\prime }=\frac{r^2}{{\overline{OX}}^2}OX$.)
- Главное: инверсия конформна (сохраняет углы), переводит:
- любую окружность, не проходящую через $O$, в окружность;
- любую окружность, проходящую через $O$, в прямую, не проходящую через $O$;
- любую прямую, не проходящую через $O$, в окружность, проходящую через $O$;
- прямую через $O$ — в себя.
(Ориентация при этом меняется.)
Набор задач, где инверсия существенно упрощает конфигурацию (с указанием упрощения и неоднозначных/особых случаев):
1) Микстилинарный вписанный круг при вершине $A$ (задача про касание вписанной/описанной окружности в вершине).
- Упрощение: инверсия с центром в $A$ переводит описанную окружность в прямую, касания становятся касаниями с прямой → задача сводится к задаче о касательной к прямой.
- Риск: если важна длина дуг или ориентация, нужно восстановить изображение обратно; выбор радиуса обычно несущественен.
2) Задачи о касательных кругах (например, найти центр круга, касающегося двух данных окружностей и прямой).
- Упрощение: инверсия в точке касания превращает одну из окружностей в прямую, другие — в окружности или прямые, часто даёт систему из прямых и окружностей, легко решаемую геометрически.
- Риск: при несовместимости касаний появятся несколько случаев (внутреннее/внешнее касание).
3) Проблемы взаимной касательности (Содди, тройка касающихся окружностей).
- Упрощение: подобрать центр инверсии в точке касания так, что одна или две окружности станут прямыми — сводит задачу к расчету радиусов по простым соотношениям.
- Риск: знак радиусов, внешняя/внутренняя касательность дают множество вариантов; легко упустить «негативные» решения.
4) Проблемы «конкуренции» окружностей/пересечений (например, доказать, что три центроидных/Микельных точек совпадают).
- Упрощение: инверсия переводит окружности в прямые, превращая условие кокицичности в коллинеарность — часто решается элементарно.
- Риск: если инверсия ставит важную точку в $O$ (центр), то нужно работать с пределами/точками на бесконечности.
5) Локусы: множество точек, для которых выполняется условие вида «мощь по окружности = const» или «касание».
- Упрощение: после инверсии степень точки превращается в расстояние до образа прямой/окружности — часто локаус становится прямой или окружностью.
- Риск: инверсия может менять тип локауса; при возвращении надо корректно интерпретировать бесконечные точки.
6) Задачи о биссектрисах и диаметральных симметриях (например, построить центр гомотетии двух окружностей).
- Упрощение: инверсия в одной из общих точек переводит окружности в прямые, центры гомотетии становятся пересечениями прямых.
- Риск: когда исходные окружности не пересекаются, нужно рассматривать внешние/внутренние гомотетии отдельно.
7) Теоремы о квадрилах/параллелограммах, где участвуют окружности (например, теорема Менелая/Птолемея с окружностями).
- Упрощение: инверсия переводит круговые дуги в отрезки/прямые, позволяя применить классические теоремы о прямых.
- Риск: требуются корректные преобразования отношений длин (инверсия не сохраняет длины).
8) Задачи о прямых, пересекающих окружность под фиксированным углом (угловой локаус).
- Упрощение: инверсия сохраняет углы, но превращает окружность в прямую → задача сводится к задачам о касательных/параллельных прямых.
- Риск: ориентированные углы, направление поворота меняются — внимательность к знакам углов обязательна.
Методологические риски и ограничения применения инверсии (сжатый анализ):
- Выбор центра и радиуса критичен. Неподходящий центр (например, центр, лежащий на нужной для сохранения свойства фигуре) может привести к вырождению (много точек → в $O$, окружность → прямая) и усложнить анализ или потребовать предельных рассуждений.
- Множество случаев. Инверсия часто разбивает задачу на отдельные комбинации (окружности через $O$ / не через $O$; внешнее/внутреннее касание). На состязании легко пропустить один из подслучаев.
- Потеря метрических простот. Инверсия не сохраняет длины и отношения линейных отрезков; для метрических утверждений требуется работать с мощностью точки, преобразованиями радиусов, дополнительными вычислениями или возвращением в исходную конфигурацию.
- Ориентация и знаки. Инверсия меняет ориентацию; при доказательствах с ориентированными углами/положениями нужно аккуратно следить за знаками.
- Псевдопростота. Иногда инверсия делает конфигурацию «визуально» проще, но нуждается в дополнительном алгебраическом/тригонометрическом расчёте при восстановлении — это может увеличить время решения.
- Эвристическая зависимость. Студенты могут стать «зависимы» от инверсии как универсального приёма и применять её без размышления; нужно учить критериям выбора (см. ниже).
- Точки на бесконечности. При возникновении прямых-образов нужно корректно трактовать точки на бесконечности; ошибки здесь часты в письменных решениях.
Рекомендации и практические правила выбора инверсии (коротко):
- Центр инверсии: обычно берут в значимой геометрической точке — точке касания, пересечения окружностей, вершине угла; избегать центра, который превращает важные элементы в $O$ без явной пользы.
- Радиус: обычно произвольный (масштаб не важен), но иногда удобно выбрать $r^2$ равным произведению расстояний до двух специальных точек, чтобы упростить численные выражения.
- Сначала проанализировать типы образов: какие окружности станут прямыми, какие — окружностями; выписать все случаи (через $O$/не через $O$, внутреннее/внешнее касание).
- Всегда пометить, как инверсия действует на ключевые точки/линии, и отмечать, где возникают точки на бесконечности.
- После решения в образе проверять и явно возвращаться к исходной конфигурации (восстановление утверждения в оригинале).
- В обучении: давать сначала примеры, где инверсия явно упрощает (микстилинарные задачи, касания), затем переходить к более хитрым случаям с множественным разбиением на случаи.
Короткая чек-листа при применении инверсии в задаче:
1. Выбрать центр $O$ мотивированно (касание/пересечение/вершина).
2. Определить образы всех значимых фигур (окружность ↔ окружность/прямая).
3. Выписать все подслучаи (через $O$ / не через $O$; внутреннее/внешнее).
4. Решить задачу в образе (использовать сохранение углов, коллинеарность ↔ кокицичность).
5. Вернуть результат в исходную конфигурацию, проверив специальные/граничные случаи.
Итого: инверсия — мощный инструмент для упрощения большого класса задач (касания, кокицичности → коллинеарности, локаусы), но требует осторожного выбора центра/контроля случаев, внимательного обращения с метрикой и ориентацией; в обучении полезна, но нужна методическая подача, чтобы не превратить инструмент в «черный ящик».