Кратко: рассмотрим исходные окружности с центрами $(x_i,y_i)$ и радиусами $r_i$ $(i=1,2,3)$. искомая окружность имеет центр $(x,y)$ и радиус $r$. Для каждой касательной ситуации вводим знак $s_i=\pm 1$ ($+1$ — внешняя касание, $-1$ — внутреннее). Уравнение касания:
$$(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2=(r+s_i{r}_i{)}^2,i=1,2,3.$$
Далее сравнение трёх методов по принципу решения, сложности, устойчивости и наглядности.
1) Чисто аналитический метод (декартовы координаты)
- Идея / шаги:
- Из пары уравнений вычесть, чтобы убрать квадратичные члены по $x^2+y^2$: для $i,j$ $$2(x_j-x_i)x+2(y_j-y_i)y-2(s_j{r}_j-s_i{r}_i)r=x_j^2-x_i^2+y_j^2-y_i^2-(r_j^2-r_i^2).$$ - Получаете две линейные зависимости для $x,y$ с параметром $r$. Решаете их как
$$x=a_1+b_{1}r,y=a_2+b_{2}r$$ (коэффициенты вычисляются решением 2×2 линейной системы).
- Подставляете в одно из исходных уравнений — получается квадратное уравнение для $r$. Для фиксированного сочетания знаков $s_i$ обычно не более двух корней; суммарно при всех $2^3=8$ сочетаниях — до 8 решений (классический результат).
- Сложность: вычислительно очень низкая — несколько операций лин. алгебры и решение квадратичного; сложность O(1). Реализуется в несколько десятков арифметических операций.
- Устойчивость: средняя. Потенциальные проблемы при почти коллинеарных или близких центрах (матрица 2×2 плохо обусловлена), при больших числах — вычитание близких величин при вычитании уравнений; корни квадратичного уравнения чувствительны к погрешностям. Улучшения: нормализация координат (сдвиг по центру масс, масштаб), использование обусловленного решения 2×2, устойчивая формула корней квадрата.
- Наглядность: низкая — всё алгебра, мало геометрической интерпретации; но простая для программной реализации и автоматизации.
2) Метод инверсий
- Идея / шаги:
- Выбрать центр и радиус инверсии (часто центр одной из данных окружностей). Под инверсией окружности, не проходящие через центр инверсии, переходят в окружности, проходящие — в прямые.
- Правильным выбором центра инверсии можно свести задачу к касанию двух прямых и одной окружности либо к касанию трёх прямых/двух окружностей — существенно проще (решается прямыми и однородными гомотетиями).
- Наконец, инвертировать найденную окружность обратно.
- Сложность: концептуально средняя. Формально — конечное число геометрических шагов; в вычислительном варианте сводится к преобразованиям координат и решению более простых подзадач. Обычно несложно, но требует выбора подходящего центра инверсии и учёта случая, когда центр инверсии лежит на одной из окружностей (особый случай).
- Устойчивость: хорошая при аккуратном выборе центра инверсии; однако инверсия сильно масштабирует расстояния: точки близкие к центру инверсии отображаются далеко — численные ошибки могут усилиться. В численной реализации полезно выбирать инверсию с радиусом, сопоставимым масштабам входных данных, и избегать центров слишком близких к критическим точкам.
- Наглядность: высокая — геометрическое преобразование делает структуру решения понятной (прямые, центры гомотетий). Очень полезен для ручных построений и доказательств; хорошая визуализация всех решений (с соответствующими случаями знаков).
3) Классическое геометрическое построение (компас и линейка, гомотетии, радикальные оси)
- Идея / шаги:
- Использование центров гомотетии двух окружностей для поиска общих касательных, построение линий центров подобия, применение радикальной оси для связывания положений центров искомой окружности.
- Частые приёмы: сведение к задаче о касательной к двум окружностям (общие касательные через центры гомотетии), применение инверсии как геометрического шага (фактически комбинирует с пунктом 2).
- Сложность: высокая при ручном построении — много частных случаев (внешняя/внутренняя касание, вложенность, касание, совпадение центров), требуется серия конструкций; но каждая операция — классическая (пересечение, построение касательных, центров гомотетии).
- Устойчивость: для рисунков и теоретических построений — хорошая (интуитивно понятна), но точность ограничена инструментом; в случае вырожденных конфигураций (концентрические окружности) конструкция либо требует специальных приёмов, либо невозможна стандартными шагами.
- Наглядность: очень высокая для понимания геометрии и отдельных решений; показывает взаимосвязь решений и симметрий. Но громоздка для получения всех 8 решений сразу и для численной точности.
Сравнительная сводка (коротко)
- Алгоритмическая сложность: аналитический ≈ наименьшая (прямое вычисление); инверсия ≈ средняя; классическое построение ≈ большая ручная работа.
- Числовая устойчивость: инверсия и аналитический близки, но аналитический требует кондиционирования; инверсия может усилить ошибки при плохом выборе центра; классическое — устойчиво визуально, но малоточна численно.
- Наглядность / понятность: классическое ≈ инверсия > аналитический (анализ).
- Универсальность и обработка вырожденных случаев: аналитический метод легко формализуется и охватывает все случае с явными проверками; инверсия удобна для большинства невырожденных случаев; классическое требует специальных разборов для вырождений (концентр., касание).
Рекомендации
- Для программной реализации с требованием скорости и детерминированности — аналитический метод с нормализацией координат и аккуратным решением 2×2 и квадрата; перебирают все $2^3$ комбинации знаков $s_i$.
- Для объяснения, чертежей и получения интуиции — инверсия (или классическое построение с инверсией как инструментом).
- Для ручного строгого построения (компактный чертёж, доказательство существования) — классические приёмы с гомотетиями и радикальными осями; для упрощения часто применяют инверсию как шаг внутри классического построения.
Если нужно, могу привести детализированную пошаговую алгебраическую реализацию аналитического метода с формулами для коэффициентов $a_k,b_k$ и явной формулой квадратичного уравнения.