Формулировка (сферический аналог теоремы о вписанном четырёхугольнике).
Пусть $A,B,C,D$ — вершины невырожденного сферического четырёхугольника на единичной сфере. Тогда вершины $A,B,C,D$ лежат на одной окружности (пересечении сферы с некоторой плоскостью) тогда и только тогда, когда противоположные углы сумму дают $\pi$ (180°), т.е.
$$\angle A+\angle C=\pi \text{(и эквивалентно}\angle B+\angle D=\pi \text{)}.$$
Доказательство.
1) Сведение к плоскому случаю через стереографическую проекцию. Выберем точку проекции $P$, отличную от $A,B,C,D$ и не лежащую на искомой окружности (если окружность содержит $P$, можно взять другую точку). Стереографическая проекция $\Phi$ отображает сферу без точки $P$ в плоскость и обладает свойствами:
- она конформна (сохраняет углы между кривыми);
- образ окружности на сфере, не проходящей через $P$, — окружность в плоскости; если окружность проходит через $P$, её образ — прямая.
Пусть $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ — образы точек $A,B,C,D$. Поскольку $\Phi$ сохраняет углы, углы сферического четырёхугольника равны соответствующим плоским углам четырёхугольника $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.
2) Применение плоской теоремы. В планиметрии известно: четыре точки плоскости лежат на одной окружности или на одной прямой тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов вписанного четырёхугольника равны $\pi$. Значит $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ лежат на одной окружности/прямой тогда и только тогда, когда
$$\angle A^{\prime }+\angle C^{\prime }=\pi \text{(и тогда также}\angle B^{\prime }+\angle D^{\prime }=\pi \text{)}.$$
3) Возврат на сферу. Так как $\angle A=\angle A^{\prime },\angle C=\angle C^{\prime }$ и т.д., условие $\angle A+\angle C=\pi$ эквивалентно $\angle A^{\prime }+\angle C^{\prime }=\pi$. А условие, что образы $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ лежат на одной окружности/прямой, эквивалентно тому, что исходные точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности на сфере (или этой окружностью является велик круг, если соответствующая плоскость проходит через центр сферы). Это даёт требуемую эквивалентность.
Замечания.
- Если одно из равенств выполнено, то автоматически выполнено и другое, поскольку сумма всех четырёх углов у (образа) невырожденного плоского четырёхугольника равна $2\pi$, а стереографическая проекция сохраняет суммы углов.
- Под «окружностью» понимается любая круговая линия на сфере (пересечение сферы с плоскостью); случай большого круга — частный (плоскость проходит через центр).