Кратко: решений, вообще говоря, бесконечно много (неоднозначно). Необходимое и достаточное условие существования — $h_a>0$ и $\sin \beta \ne 0$. Ниже — пояснение и конструкция.
Основные соотношения (без доказательств): если $BC$ — основание, $G$ — центр масс (точка пересечения медиан), то расстояние от $G$ до прямой $BC$ равно $\frac{h_a}{3}$. Обозначим
$$s=\frac{h_a}{3}.$$ Пусть $B$ — любая точка на прямой $BC$; луч $BA$ образует с $BC$ заданный угол $\beta$. Тогда проекция длины отрезка $BA$ на нормаль к $BC$ даёт высоту $h_a$, значит длина отрезка вдоль луча $BA$, от $B$ до $A$, равна
$$t=\frac{h_a}{\sin \beta }.$$ Если построить $A$ по этому правилу, то положив
$$C=3G-A-B$$ (векторно), получим вершину $C$ на той же прямой $BC$. Это даёт бесконечное множество решений (для каждой подходящей прямой $BC$ и для каждой точки $B$ на ней получается треугольник).
Пошаговый алгоритм построения одного треугольника (циркуль и линейка):
1. Вычислите $s=\frac{h_a}{3}$. Постройте окружность с центром в $G$ и радиусом $s$.
2. Выберите любую прямую $l$, касательную к этой окружности (касательная означает: расстояние от $G$ до $l$ равно $s$). (Если хотите перечислить все решения — перебирайте все такие касательные.) На выбранной касательной возьмите произвольную точку $B$.
3. Через $B$ постройте луч $BA$, образующий с прямой $l$ угол $\beta$ (на нужной стороне).
4. На луче $BA$ отложите отрезок $BA$ длины
$$BA=t=\frac{h_a}{\sin \beta },$$ получив точку $A$. (Альтернативно: провести через $B$ луч под углом $\beta$ к $l$ и отметить на нём точку, у которой расстояние до $l$ равно $h_a$.)
5. Постройте точку $M$ на продолжении луча $GA$ в сторону, противоположную $A$, так, чтобы
$$GM=\frac{1}{2}AG.$$ (То есть на прямой $GA$ от точки $G$ отложите в обратном направлении половину отрезка $AG$.) Тогда $M$ — середина отрезка $BC$.
6. Отразите точку $B$ относительно $M$; полученная точка есть $C$. (Так как $M$ — середина $BC$.)
7. Треугольник $ABC$ имеет высоту из $A$ длины $h_a$, центр масс $G$ и угол при $B$ равный $\beta$.
Обсуждение существования и единственности:
- Необходимое условие: $h_a>0$ и $\sin \beta \ne 0$ (иначе высота не достигаема или угол вырожден). При этих условиях прямая $BC$ должна быть любой касательной к окружности радиуса $s=h_a/3$ с центром в $G$ — таких касательных бесконечно много. Для каждой выбранной касательной и любой точки $B$ на ней по описанному алгоритму вы получаете треугольник. Следовательно, решений бесконечно много (неединственность, семейство параметризуется положением касательной и положением $B$ на ней).
- Частные вырожденные случаи: если $\beta =0$ или $\pi$ (прямая), или $h_a=0$ — треугольник невозможен; при $\sin \beta \ne 0$ и $h_a>0$ построение всегда реализуемо.
Замечание: если требуется единственное (или конечное число) решение, нужно добавить дополнительное условие (например, положение точки $B$ на некоторой заданной прямой или длину стороны $BC$ или расстояние от $G$ до $B$ и т. п.).