Формулировка. Пусть в треугольнике $ABC$ прямая пересекает прямые $BC,CA,AB$ в точках $X,Y,Z$ (возможно на продолжениях). Тогда точки $X,Y,Z$ коллинеарны тогда и только тогда, когда (с учетом ориентированных отрезков)
$$\frac{BX}{XC}\cdot \frac{CY}{YA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=-1.$$
1) Доказательство планиметрическое (через площади, классическое).
Пусть точки как выше. Для точки $X\in BC$ имеем (ориентированные площади)
$$\frac{BX}{XC}=\frac{[ABX]}{[AXC]},$$ потому что треугольники $ABX$ и $AXC$ имеют общую высоту из вершины $A$ на прямую $BC$. Аналогично
$$\frac{CY}{YA}=\frac{[BCY]}{[BAY]},\frac{AZ}{ZB}=\frac{[CAZ]}{[CBZ]}.$$ Перемножая,
$$\frac{BX}{XC}\cdot \frac{CY}{YA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=\frac{[ABX]}{[AXC]}\cdot \frac{[BCY]}{[BAY]}\cdot \frac{[CAZ]}{[CBZ]}.$$ Если $X,Y,Z$ лежат на одной прямой $l$, то соответствующие произведения площадей попарно сводятся (см. стандартную тождественную редукцию: площади, у которых основания — отрезки между точками пересечения $l$ с сторонами треугольника, взаимно сокращаются с учетом знаков) и получаем
$$\frac{[ABX]}{[AXC]}\cdot \frac{[BCY]}{[BAY]}\cdot \frac{[CAZ]}{[CBZ]}=-1,$$ откуда требуемое равенство. Обратное направление (из равенства произведения равенство $-1$ — коллинеарность) получается тем же соображением по противному: если произведение равно $-1$, то сумма ориентированных площадей вдоль предполагаемой прямой даёт нулевую комбинацию, что эквивалентно коллинеарности пересечений.
(Это классическое доказательство обычно формулируют через ориентированные площади или через подобные треугольники; выше — версия через площади, короткая и наглядная.)
2) Доказательство проективное (через дуальность / преобразования).
Menelaus — проективная по сути теорема; её легко получить как двойственную к теореме Ceva. Делая проектную дуальность относительно некоторой двойственности (точка ↔ прямая), треугольник $ABC$ переводится в тот же треугольник, а прямая, содержащая $X,Y,Z$, переводится в точку $P$. Коллинеарность $X,Y,Z$ превращается в условие конкуренции трёх прямых (двойственное к трем точкам на сторонах), и Menelaus превращается в Ceva: для троек точек на сторонах условие Menelaus эквивалентно условию Ceva в дуальном виде. Ceva даёт
$$\frac{BX}{XC}\cdot \frac{CY}{YA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=-1$$ (знак появляется при переходе к ориентированным отношениям / при учёте того, что одна из точек может лежать на продолжении стороны). Альтернативно можно применить произвольное проективное преобразование, которое переводит прямую $l$ в удобную позицию (например, в бесконечную прямую): под таким преобразованием отношение секущих вдоль стороны переходит в отношение направлений, и условие коллинеарности сводится к простому соотношению, дающему то же равенство.
(Проективное доказательство даёт структурное понимание: Menelaus — следствие проективной инвариантности и дуальности Ceva.)
3) Доказательство в барицентрических/векторных координатах (короткое и алгебраическое).
В барицентрических координатах относительно треугольника $ABC$ точка на стороне $BC$ с отношением $BX/XC=x$ имеет координаты (в пропорциях) $(0,1,\frac{1}{x})$. Аналогично
$$X\sim (0,1,\frac{1}{x}),Y\sim (\frac{1}{y},0,1),Z\sim (1,\frac{1}{z},0),$$ где $x=\frac{BX}{XC},y=\frac{CY}{YA},z=\frac{AZ}{ZB}$. Точки коллинеарны тогда и только тогда, когда их барицентрические координаты линейно зависимы, т.е. детерминант матрицы их однородных координат равен нулю:
det⁡(011x1y0111z0)=0. \det\begin{pmatrix}
0 & 1 & \tfrac{1}{x}\\[4pt]
\tfrac{1}{y} & 0 & 1\\[4pt]
1 & \tfrac{1}{z} & 0
\end{pmatrix}=0.
det 0y1 1 10z1 x1 10 =0. Вычисляя детерминант по формуле
$$\det =0\cdot (\dots )-1\cdot (\frac{1}{y}\cdot 0-1\cdot 1)+\frac{1}{x}\cdot (\frac{1}{y}\cdot \frac{1}{z}-0\cdot 1)=1+\frac{1}{xyz},$$ получаем $1+\frac{1}{xyz}=0$, т.е.
$$xyz=-1,$$ что и есть требуемое равенство.
Сравнение подходов — сильные и слабые стороны, где применим каждый.
- Планиметрическое (площади / подобие).
- Плюсы: наглядно, геометрически интерпретируемо; не требует алгебры или проективных понятий; подходит в задачах с ограничением на «элементарную» геометрию.
- Минусы: бывает громоздким при трёх-четырёх дополнительных соотношениях; нужно аккуратно работать с ориентацией для случаев на продолжениях.
- Где полезно: олимпиады, задачи, где важна геометрическая интуиция и соединение с площадями/подобиями.
- Проективное.
- Плюсы: коротко, концептуально (дуальность с Ceva), легко обобщается; хорошо показывает, почему теорема инвариантна при проективных преобразованиях.
- Минусы: требует знаний проективной геометрии; для пользователя без этих понятий может быть «черным ящиком».
- Где полезно: теории проективных преобразований, задачи, где удобно применять проективные переходы (перевести прямую в бесконечную, упростить конфигурацию), исследования инвариантов.
- Векторное / барицентрическое (координатное).
- Плюсы: очень коротко, алгебраически строго; легко автоматизируется; удобно для обобщений (многомерные аналоги, вычисления).
- Минусы: теряется геометрическая наглядность; надо следить за однородными/ориентированными координатами.
- Где полезно: при вычислениях, при работе с барицентрическими/аффинными/векторными методами, в задачах, где требуется быстрый алгебраический вывод или применение компьютерных средств.
Вывод: выбор метода зависит от цели. Для наглядного объяснения и «чисто планиметрических» задач — планиметрия; для концептуального понимания и обобщений — проективный подход; для быстрого алгебраического вывода и вычислений — барицентрические/векторные координаты.