Кратко — свойства, дающие право выполнять сложение, умножение и брать обратную матрицу:
Сложение
- Совместимость по размеру: складывать можно только матрицы одинакового размера, т.е. $A,B$ — обе $m\times n$.
- Замкнутость: сумма $A+B$ также $m\times n$.
- Коммутативность: $A+B=B+A$.
- Ассоциативность: $(A+B)+C=A+(B+C)$.
- Нулевой элемент и противоположный: существует нулевая матрица $0$ такая, что $A+0=A$, и для каждого $A$ есть $-A$, что $A+(-A)=0$.
Умножение
- Совместимость по размеру (конформность): произведение $AB$ определено только если число столбцов $A$ равно числу строк $B$; если $A$ — $m\times p$ и $B$ — $p\times n$, то $AB$ — $m\times n$.
- Ассоциативность: $(AB)C=A(BC)$ при согласованных размерах.
- Дистрибутивность относительно сложения: $A(B+C)=AB+AC$ и $(A+B)C=AC+BC$.
- Наличие единичной матрицы: для квадратной $n\times n$ матрицы существует единица $I_n$, что $I_{n}A=A=A{I}_n$.
- В общем случае некоммутативно: $AB\ne BA$ в общем.
Обратная матрица (инверсия)
- Требование квадратности: обратима только квадратная матрица $A$ размера $n\times n$.
- Критерий существования: $A$ обратима тогда и только тогда, когда $\det A\ne 0$ (или эквивалентно $\mathrm{rank}A=n$, или линейный оператор невырожден / биективен).
- Формула через присоединённую матрицу: при $\det A\ne 0$ $$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\mathrm{adj}A.$$ - Единственность: если существует, то обратная матрица единственна.
- Свойства обратных: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$, $(A^{-1}{)}^{-1}=A$, $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$, при ненулевом скаляре $\alpha$ — $(\alpha A{)}^{-1}={\alpha }^{-1}{A}^{-1}$.
- Практич. методы нахождения: Гауссово исключение (приведение $[A|I]$ к $[I|A^{-1}]$), или вышеупомянутая формула через $\mathrm{adj}$ и $\det$.
Дополнительные общие свойства
- Совместимость со скалярным умножением: $\alpha (AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B)$.
- Операции структурируются как алгебра (кольцо/алгебра матриц) с единицей и аддитивной группой; для квадратных матриц с обратимыми элементами образуется группа $GL(n)$ (общая линейная группа).
Это основные свойства, обеспечивающие корректность и вычислимость операций сложения, умножения и обращения матриц.