Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ заданы уравнениями
$$l_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0,l_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0,$$ они пересекаются (точка пересечения обозначим $O$). Расстояние точки $P(x,y)$ до прямой $l_i$ равно
$$d_i=\frac{|a_{i}x+b_{i}y+c_i|}{\sqrt{a_i^2+b_i^2}}(i=1,2).$$
Условие отношения расстояний равно константе $k$ записывается как
$$\frac{|a_{1}x+b_{1}y+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=k\frac{|a_{2}x+b_{2}y+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$$ Возведя в квадрат, получаем алгебраическое уравнение геометрического места:
$$\frac{(a_{1}x+b_{1}y+c_1{)}^2}{a_1^2+b_1^2}-k^2\frac{(a_{2}x+b_{2}y+c_2{)}^2}{a_2^2+b_2^2}=0,$$ или в факторизованном виде
$$(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}-k\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}})(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}+k\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}})=0.$$
Отсюда выводы и разбор случаев:
- Для любого фиксированного $k\ge 0$ геометрическое место — объединение двух прямых, проходящих через точку пересечения $O$, задаваемых линейными уравнениями
$$\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm k\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$$ - Случай $k=1$: уравнения превращаются в
$$\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}},$$ это внутренний и внешний биссектрисы угла, образованного $l_1$ и $l_2$ (точки, равноудалённые от двух прямых).
- Случай $k>0,k\ne 1$: получаем две прямые через $O$, которые не совпадают с обычными биссектрисами (они являются обобщёнными биссектрисами, задаваемыми соответствующим соотношением модулей расстояний).
- Случай $k<0$: при определении расстояний как неотрицательных величин уравнение не имеет смысла и решений нет. Если же использовать ориентированные (signed) расстояния, то формула без модулей
$$\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=k\frac{a_{2}x+b_{2}y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$ даёт две прямые для любого реального $k$ (включая отрицательные) — они отличаются знаком в факторизованном виде.
Кратко: общее уравнение — $\frac{(a_{1}x+b_{1}y+c_1{)}^2}{a_1^2+b_1^2}=k^2\frac{(a_{2}x+b_{2}y+c_2{)}^2}{a_2^2+b_2^2}$; для $k=1$ это внутренний и внешний биссектрисы, для $k>0$ — две прямые через точку пересечения, для $k<0$ нет решений при обычных (неотрицательных) расстояниях.