Обозначения: дан отрезок $AB$. Пусть $M$ — его середина, даны числа $m$ (длина медианы $CM$) и $h$ (высота из вершины $C$, т.е. расстояние от $C$ до прямой $AB$). Предполагаем $h>0$.
Критерий существования:
$$m^2\ge h^2.$$ Если $m^2<h^2$ решений нет; если $m^2=h^2$ — ровно по одному положению вершины $C$ на каждой стороне прямой $AB$ (итого 2 треугольника); если $m^2>h^2$ — по два положения на каждой стороне (итого 4 треугольника).
Обоснование (коротко): поместим систему координат так, что $M=(0,0)$ и прямая $AB$ — ось $x$. Тогда вершина $C$ имеет координаты $(x,\pm h)$. Из условия медианы имеем
$$x^2+h^2=m^2⟹x^2=m^2-h^2.$$ Отсюда реальные $x$ существуют iff $m^2\ge h^2$. При $m^2>h^2$ $x=\pm \sqrt{m^2-h^2}$ даёт по две точки с $y=+h$ и $y=-h$ — 4 треугольника; при $m^2=h^2$ — $x=0$, две точки $C=(0,\pm h)$.
Построение:
1. Постройте середину $M$ отрезка $AB$.
2. Постройте две прямые, параллельные $AB$, на расстоянии $h$ от неё (по одну и по другую сторону).
3. Постройте окружность с центром $M$ и радиусом $m$.
4. Пересечения окружности с этими двумя параллельными прямыми дают искомые положения вершины $C$. Отсутствие пересечений эквивалентно $m^2<h^2$ (нет решений); касание — случай $m^2=h^2$ (по одной точке на каждой стороне).
Замечание: если считать отражённые относительно прямой $AB$ треугольники тождественными, то числа решений делятся на два: при $m^2>h^2$ — 2 (пары зеркал), при $m^2=h^2$ — 1.