Кратко — сначала конструкция и общие факты, затем примеры использования.
1) Афинное отображение, переводящее эллипс в окружность.
Пусть эллипс в каноническом виде $\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$. Взять линейный невырожденный оператор $T^{-1}:(X,Y)\mapsto (x,y)=\left(\frac{X}{a},\frac{Y}{b}\right)$. Он переводит эллипс в единичную окружность $x^2+y^2=1$. Обратно $T(x,y)=(ax,by)$ переводит окружность в эллипс.
2) Что сохраняется под афинным отображением $T$ (общие свойства):
- прямые переходят в прямые; коллинеарность и конкурентность точек/прямых сохраняются;
- параллельность сохраняется; отношения ориентированных отрезков на одной прямой (включая середины) сохраняются;
- касание (контакт первого порядка) кривых: касательная в точке переходит в касательную в образе точки; инциденция «точка лежит на касательной» сохраняется;
- проективно-аффинные соотношения (сочетание отрезков, поля, полярные соотношения, коллинеарности пересечений) сохраняются;
- выпуклость и порядок точек на прямой сохраняются; площадь множества умножается на постоянный множитель $|\det T|$.
3) Что, как правило, теряется:
- евклидические метрики: длины и углы не сохраняются (углы сохраняются только при ортогонально-однородной аффинной карте — подобии); ортогональность в общем не сохраняется;
- кривизна, равенство углов (в том числе отражательные свойства, например фокусное свойство эллипса) не сохраняются.
4) Примеры применения к касательным эллипса (упрощение доказательств):
a) Формула касательной. Пусть на эллипсе точка $(X_0,Y_0)$ (соответственно на окружности $(x_0,y_0)=\left(\frac{X_0}{a},\frac{Y_0}{b}\right)$). Т.к. касательная к окружности в $(x_0,y_0)$ задаётся
$$x{x}_0+y{y}_0=1,$$ подстановка $x=\frac{X}{a},y=\frac{Y}{b}$ даёт касательную к эллипсу в $(X_0,Y_0)$:
$$\frac{X{X}_0}{a^2}+\frac{Y{Y}_0}{b^2}=1.$$ Это прямое и короткое получение формулы касательной через афинное сжатие.
b) Поля и полярная двойственность. Для окружности известна взаимность: точка $P$ лежит на полярной прямой точки $Q$ тогда и только тогда, когда $Q$ лежит на полярной прямой $P$. Поскольку касательность и инциденция сохраняются под $T$, соответствующее утверждение выполняется и для эллипса. Следствие: свойства о пересечении касательных, полярных и т. п. легко доказываются, сведя ситуацию к окружности и вернувся обратно через $T$.
c) Конкурентность/коллинеарность касательных и хорд. Любое утверждение вида «касательные в трёх точках эллипса конкурируют/имеют общую точку/их точки пересечения лежат на прямой» можно проверить на окружности (где часто легко), затем перенести назад — такие топологические и инциденционные свойства защищены афинностью.
5) Ограничения метода. Нельзя выводить с его помощью метрические/угловые свойства (например, что лучи от фокусов отражаются в равных углах), потому что углы и длины меняются. Для таких утверждений требуются евклидические (геометрические или аналитические) аргументы, а не чисто аффинные.
Краткое резюме: афинное отображение — удобный инструмент для сведений инцидентных и касательных свойств эллипса к окружности (линии→линии, касание→касание, коллинеарность, конкуренция, поля и т.п.), но не годится для переноса утверждений, зависящих от длин и углов.