Теорема (критерий вписанности окружности). Для выпуклого четырёхугольника $ABCD$ существует окружность, касающаяся всех четырёх сторон (четырёхугольник вписаннокруговый, или касательный), тогда и только тогда, когда
$$AB+CD=BC+AD.$$
1) Необходимость (синтетическое рассуждение).
Пусть окружность с центром $I$ касается сторон в точках $T_{AB},T_{BC},T_{CD},T_{DA}$. Обозначим длины касательных от вершин общими буквами: от $A$ касательные к двум сторонам равны, пусть это $x$; от $B$ — $y$; от $C$ — $z$; от $D$ — $w$. Тогда
$$AB=x+y,BC=y+z,CD=z+w,DA=w+x.$$ Складывая первые и третьи равенства, получаем
$$AB+CD=(x+y)+(z+w)=x+y+z+w.$$ А складывая второе и четвёртое,
$$BC+AD=(y+z)+(w+x)=x+y+z+w.$$ Отсюда $AB+CD=BC+AD$. (Это стандартный довод на равенство касательных.)
2) Достаточность (алгебраическое / конструктивное рассуждение).
Предположим $AB+CD=BC+AD$. Рассмотрим неизвестные $x,y,z,w$ и систему
$$AB=x+y,BC=y+z,CD=z+w,DA=w+x.$$ Эта система совместна тогда и только тогда, когда выполняется одно линейное соотношение между сторонами; действительно из соотношений следует тождество
$$(AB+CD)-(BC+AD)=0,$$ и при условии $AB+CD=BC+AD$ система имеет решения. Параметризуем решения, взяв $x=t$. Тогда
$$y=AB-t,z=BC-(AB-t)=BC-AB+t,w=CD-z=CD-BC+AB-t.$$ Проверка на последнее равенство даёт $w+t=AD$ в силу предположения. Остаётся выбрать $t$ так, чтобы все четыре числа были положительными. Пояснение, что такой $t$ существует: из равенства $AB+CD=BC+AD$ получаем
$$AB-BC=AD-CD,$$ и поскольку $CD>0$, имеем $AB-BC<AD$. Значит интервал
$$(\max (0,AB-BC),\min (AB,AD))$$ не пуст. Выбирая $t$ из этого интервала, получаем $x,y,z,w>0$. Тогда по стандартному построению (взять на каждой стороне отрезки данных длин у вершины и провести касательные) можно построить окружность, касающуюся всех четырёх сторон: длины касательных от вершин равны $x,y,z,w$, следовательно существует окружность с этими касательными. Это завершает доказательство достаточности.
Альтернативная «алгебраическая» формулировка через площадь. Если окружность радиуса $r$ касается всех сторон, то площадь выпуклого четырёхугольника равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников с основаниями-сторонами и высотой $r$:
$$S=\frac{1}{2}r(AB+BC+CD+DA)=r\cdot s,$$ где $s=\frac{1}{2}(AB+BC+CD+DA)$ — полупериметр. Обратное направление: если задать положительные касательные $x,y,z,w$ как выше и получить их суммарно $s=x+y+z+w$, то радиус $r$ определяется как $r=S/s$; совместимость равенств для сторон — та же линейная совместимость, что и раньше.
Сравнение методов:
- Синтетический (касательные от вершин) даёт простую, наглядную необходимость и конструктивно приводит к системе $AB=x+y,\dots$. Он минимален по вводимым понятиям и сразу показывает, почему суммы противоположных сторон равны.
- Алгебраический (через систему линейных уравнений или через формулу площади $S=rs$) делает акцент на существовании положительного решения системы и на вычислении радиуса $r=S/s$. Этот подход удобен для вычислений и обобщений (например, формула для радиуса), и показывает связь с площадью.
3) Примеры вырожденных или негладких случаев.
- Выпуклый касательный четырёхугольник: квадрат со стороной $a$. Здесь $AB+CD=2a=BC+AD$; инцентр совпадает с центром квадрата.
- Ромб (в частности, квадрат): всегда касательный, поскольку параллельные стороны дают равные суммы.
- Кайт (ромбический) с суммами противоп. сторон равными: классический пример касательного четырёхугольника.
- Невыпуклый (вогнутый) или самопересекающийся четырёхугольник: условие $AB+CD=BC+AD$ не является достаточным для обычной вписанной окружности внутри выпуклого многоугольника; для самопересекающегося (скрещенного) квадрата формулы меняются (берутся ориентированные длины или абсолютные суммы), и требуется отдельная постановка задачи.
- Вырожденный случай: если одна сторона стремится к нулю (одна вершина «сливается»), четырёхугольник переходит в треугольник; тогда «вписанная окружность для четырёхугольника» превращается в вписанную окружность треугольника, и условие сводится к тривиальной сумме с нулём.
- Негладкий касательный «случай», когда касательная точка совпадает с вершиной (радиус стремится к нулю) — это предельный (вырожденный) случай, соответствующий совпадению двух соседних сторон в одну прямую.
Итого: необходимое и достаточное условие — равенство сумм противоположных сторон. Синтетический метод опирается на равенство касательных от вершины, алгебраический — на решение линейной системы для касательных или на соотношение площади $S=rs$. Вырожденные случаи требуют особой трактовки (вырождение в треугольник, совпадение вершин, самопересечение).