Дан треугольник ABC и точка P; исследуйте множество точек P, для которых сумма квадратов расстояний S = PA^2 + PB^2 + PC^2 постоянна, свяжите это множество с центром масс, параллельными переносами и выпишите каноническое уравнение в координатах
Дан треугольник ABC и точка P; исследуйте множество точек P, для которых сумма квадратов расстояний S = PA^2 + PB^2 + PC^2 постоянна, свяжите это множество с центром масс, параллельными переносами и выпишите каноническое уравнение в координатах
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
G(xg,yg),xg=x1+x2+x33, yg=y1+y2+y33. G\bigl(x_g,y_g\bigr),\qquad x_g=\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\; y_g=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}.
G(xg ,yg ),xg =3x1 +x2 +x3 ,yg =3y1 +y2 +y3 .
Сумма квадратов расстояний
S=PA2+PB2+PC2=(x−x1)2+(y−y1)2+(x−x2)2+(y−y2)2+(x−x3)2+(y−y3)2 S=PA^2+PB^2+PC^2=(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(x-x_3)^2+(y-y_3)^2
S=PA2+PB2+PC2=(x−x1 )2+(y−y1 )2+(x−x2 )2+(y−y2 )2+(x−x3 )2+(y−y3 )2 равна (после преобразования)
S=3((x−xg)2+(y−yg)2)+∑V∈{A,B,C}∣V−G∣2, S=3\bigl((x-x_g)^2+(y-y_g)^2\bigr)+\sum_{V\in\{A,B,C\}}|V-G|^2,
S=3((x−xg )2+(y−yg )2)+V∈{A,B,C}∑ ∣V−G∣2, где ∑V∣V−G∣2=(x1−xg)2+(y1−yg)2+⋯+(x3−xg)2+(y3−yg)2\sum_{V}|V-G|^2=(x_1-x_g)^2+(y_1-y_g)^2+\dots+(x_3-x_g)^2+(y_3-y_g)^2∑V ∣V−G∣2=(x1 −xg )2+(y1 −yg )2+⋯+(x3 −xg )2+(y3 −yg )2 — постоянная, зависящая только от треугольника.
Отсюда условие «SSS постоянна» эквивалентно постоянству расстояния от PPP до центра масс:
∣P−G∣2=S−∑V∣V−G∣23. |P-G|^2=\frac{S-\sum_{V}|V-G|^2}{3}.
∣P−G∣2=3S−∑V ∣V−G∣2 .
Следовательно множество точек PPP при фиксированном SSS:
- пусто, если S<∑V∣V−G∣2S<\sum_{V}|V-G|^2S<∑V ∣V−G∣2;
- одноточечное P=GP=GP=G, если S=∑V∣V−G∣2S=\sum_{V}|V-G|^2S=∑V ∣V−G∣2;
- окружность с центром в центроиде GGG и радиусом
r=S−∑V∣V−G∣23 r=\sqrt{\frac{S-\sum_{V}|V-G|^2}{3}}
r=3S−∑V ∣V−G∣2 в противном случае.
Каноническое уравнение в координатах:
(x−xg)2+(y−yg)2=S−((x1−xg)2+(y1−yg)2+(x2−xg)2+(y2−yg)2+(x3−xg)2+(y3−yg)2)3. (x-x_g)^2+(y-y_g)^2=\frac{S-\bigl((x_1-x_g)^2+(y_1-y_g)^2+(x_2-x_g)^2+(y_2-y_g)^2+(x_3-x_g)^2+(y_3-y_g)^2\bigr)}{3}.
(x−xg )2+(y−yg )2=3S−((x1 −xg )2+(y1 −yg )2+(x2 −xg )2+(y2 −yg )2+(x3 −xg )2+(y3 −yg )2) .
Связь с параллельными переносами: параллельный перенос системы координат на вектор −OG→-\overrightarrow{OG}−OG (перенос центра масс в начало координат) переводит уравнение в уравнение окружности с центром в начале: u2+v2=r2u^2+v^2=r^2u2+v2=r2.