Обозначения. Пусть окружности $S_1,S_2$ пересекаются в точках $A,B$. Центры и радиусы исходных окружностей обозначим $C_1,C_2$ и $R_1,R_2$, расстояние между центрами $D=C_1{C}_2$. Половина длины общей хорды: $d=\frac{1}{2}AB$. Можно взять также точку $M$ — середину отрезка $AB$.
Выражение для $d$. Удобно через $D,R_1,R_2$:
$$d=\frac{1}{2D}\sqrt{((R_1+R_2{)}^2-D^2\left)\right(D^2-(R_1-R_2{)}^2)}.$$ (Эквивалентно $x_1=\frac{R_1^2-R_2^2+D^2}{2D}$, $d=\sqrt{R_1^2-x_1^2}$, где $x_1=C_{1}M$.)
Локус центров окружностей радиуса $r$, проходящих через $A$ и $B$.
Центр $O$ такой окружности удовлетворяет $OA=OB=r$. Значит $O$ лежит на перпендикулярной биссектрисе отрезка $AB$ и на расстоянии $r$ от $A$ (и от $B$). Пусть расстояние $OM=h$. Тогда
$$r^2=d^2+h^2,h=\sqrt{r^2-d^2}(\text{если}r\ge d).$$
Отсюда три случая (зависят только от сравнения $r$ и $d=\frac{1}{2}AB$):
1) $r<d$. Решений нет (невозможно пройти окружностью радиуса $r$ через обе точки $A,B$).
2) $r=d$. Единственный центр — точка $M$ (середина хорды).
3) $r>d$. Два центра: симметричные относительно линии $AB$, они расположены на перпендикулярной биссектрисе в расстоянии $h=\sqrt{r^2-d^2}$ от $M$.
Отдельные замечания при сравнении $r$ с $R_1,R_2$:
- Если $r=R_1$ (аналогично $r=R_2$), то $C_1$ (соответственно $C_2$) удовлетворяет $C_{1}A=C_{1}B=R_1$, поэтому $C_1$ входит в искомый локус (при этом выполняется условие $R_1\ge d$).
- Сравнение $r$ с $R_1,R_2$ само по себе не изменяет общей формы локуса: решение определяется сравнением $r$ и $d$. Но знание $R_1,R_2,D$ даёт $d$ по формуле выше, так что по отношению к $R_1,R_2$ возможны варианты:
- если $r<\min (R_1,R_2)$, всё ещё может быть 0,1 или 2 центров в зависимости от того, меньше ли $r$ чем $d$;
- если $r=R_1$ или $R_2$, то соответствующий центр исходной окружности является одним из решений;
- если $r>\max (R_1,R_2)$, по-прежнему либо 0,1,2 центров в зависимости от сравнения с $d$ (обычно при больших $r$ часто $r>d$ и тогда 2 центра).
Коротко: локус — пересечение перпендикулярной биссектрисы хорды $AB$ с кругом радиуса $r$ вокруг $A$ (то же самое вокруг $B$); число центров равно 0,1 или 2 в зависимости от того, $r<d$, $r=d$ или $r>d$.