Определение. Инверсия с центром $O$ и радиусом $R$ переводит любую точку $P\ne O$ в точку $P^{\prime }$ на луче $OP$ так, что
$$OP\cdot O{P}^{\prime }=R^2.$$
Теорема (когда окружность переходит в прямую). Пусть $C$ — окружность с центром $I$ и радиусом $\rho$, а расстояние от $O$ до $I$ равно $d=OI$. Тогда образ $C^{\prime }$ при инверсии с радиусом $R$:
- является окружностью тогда и только тогда, когда $d\ne \rho$;
- является прямой тогда и только тогда, когда $d=\rho$ (то есть $O\in C$).
При $d\ne \rho$ центр $I^{\prime }$ и радиус ${\rho }^{\prime }$ образа задаются формулами
$$O{I}^{\prime }=\frac{R^{2}d}{|d^2-{\rho }^2|},{\rho }^{\prime }=\frac{R^2\rho }{|d^2-{\rho }^2|},$$ и $I^{\prime }$ лежит на луче $OI$. При $d=\rho$ образ — прямая, ортогональная к $OI$.
Доказательство (кратко). Поместим $O$ в начало координат в комплексной плоскости и обозначим инверсию формулой
$$w=\frac{R^2}{\overline{z}}.$$ Окружность $C$ задаётся уравнением $|z-a|=\rho$ (центр $a$, $|a|=d$). Подстановкой $z=\frac{R^2}{\overline{w}}$ и взятием сопряжения получаем уравнение для $w$. После упрощения получается либо уравнение окружности для $w$ (когда $d^2\ne {\rho }^2$), причём коэффициенты дают приведённые выражения для $O{I}^{\prime }$ и ${\rho }^{\prime }$, либо при $d^2={\rho }^2$ (т.е. $d=\rho$) уравнение вырождается в линейное — прямая. Геометрически это видно также через степенные свойства: если $O\in C$, то мощности точек дают бесконечность для центра образа, т.е. образ — прямая; иначе центр конечен.
Образы прямых. Прямая, не проходящая через $O$, обратима в окружность, проходящую через $O$. Прямая, проходящая через $O$, переходит в себя (точки на ней просто взаимно обращаются).
Углы и касательность.
- Инверсия сохраняет величину угла между двумя гладкими кривыми в точке пересечения, но меняет его ориентацию (инверсия — ориентировочно обращающее конформное отображение). Формально: если у двух кривых в пересечении образуются ориентированные углы $\theta$, то образы дают угол $-\theta$ по величине равный $|\theta |$.
- Следствие: если две кривые касаются в точке $P\ne O$, то их образы касаются в $P^{\prime }$.
- Случай, когда на преобразуемой окружности лежит центр: если $C$ проходит через $O$, то $C^{\prime }$ — прямая $L$. Точка $O$ переходит «в бесконечность», и касательная к $C$ в $O$ задаёт направление линии $L$. Более конкретно: центр $I$ окружности $C$ лежит на $OI$, и при $d=\rho$ образ центра уходит в бесконечность вдоль $OI$, поэтому $L$ ортогональна $OI$ и, так как касательная к окружности в $O$ также ортогональна $OI$, прямая $L$ параллельна касательной к $C$ в $O$.
Примеры.
1) Возьмём $R=1$. Окружность с центром $I=(2,0)$ и $\rho =1$ имеет $d=2\ne \rho$. По формулам
$$O{I}^{\prime }=\frac{1\cdot 2}{|4-1|}=\frac{2}{3},{\rho }^{\prime }=\frac{1\cdot 1}{3}=\frac{1}{3},$$ т.е. образ — окружность с центром $(2/3,0)$ и радиус $1/3$.
2) Окружность с центром $I=(1,0)$, $\rho =1$ (проходит через $O$): $d=\rho$. Её образ при $R=1$ — прямая, ортогональная $OI$ (то есть вертикальная), конкретно прямая $x=\frac{1}{2}$ (проверяется на образе точки $(2,0)\mapsto (1/2,0)$).
3) Прямая $y=1$ (не проходит через $O$) при $R=1$ обратима в окружность, проходящую через $O$. Можно явно найти её уравнение; она проходит через $O$ потому что в линейном уравнении при замене даётся член, соответствующий прохождению через ноль.
Итого: критическое условие — принадлежность центра инверсии данной окружности; если $O\in C$, то образ — прямая, иначе образ — окружность. Инверсия сохраняет величины углов и касание (при точках, отличных от $O$), но обращает ориентировку углов.