Формулировка (сечение ориентированных отрезков). Пусть прямая пересекает прямые $AB$, $BC$, $CA$ соответственно в точках $Z$, $X$, $Y$. Тогда точки $X,Y,Z$ коллинеарны тогда и только тогда, когда
$$\frac{BZ}{ZA}\cdot \frac{AY}{YC}\cdot \frac{CX}{XB}=-1,$$ где дроби считаются для ориентированных отрезков.
Конкретная конфигурация (для обеих доказательств):
$$A(0,0),B(6,0),C(0,6).$$ Прямая $l:y=x-2$ пересекает
$$AB\text{в}Z(2,0),BC\text{в}X(4,2),CA\text{в}Y(0,-2).$$
1) Синтетическое доказательство (классическое, через ориентированные площади — обобщённое чисто геометрическое рассуждение).
Для произвольной конфигурации (обозначения как выше) рассмотрим ориентированные площади треугольников. Замечание: две треугольные области с общей высотой относительно одной и той же стороны имеют отношение площадей равное отношению оснований (с учётом знаков). Тогда
$$\frac{BZ}{ZA}=\frac{[BZC]}{[AZC]},\frac{AY}{YC}=\frac{[AYB]}{[CYB]},\frac{CX}{XB}=\frac{[CXA]}{[BXA]},$$ где $[PQR]$ — ориентированная площадь треугольника $PQR$. Перемножив три равенства, получаем:
$$\frac{BZ}{ZA}\cdot \frac{AY}{YC}\cdot \frac{CX}{XB}=\frac{[BZC]}{[AZC]}\cdot \frac{[AYB]}{[CYB]}\cdot \frac{[CXA]}{[BXA]}.$$ Во всераспространённой конфигурации числители и знаменатели попарно сокращаются с учётом знаков (в цикле образуется произведение одинаковых площадей в числителях и знаменателях, но одна из них меняет знак из‑за ориентации), и результат равен $-1$. Это и есть теорема Менелая (и обратное также выполняется). (Это доказательство не использует координат и применимо к любой евклидовой треугольной конфигурации.)
Применение к нашей конфигурации — проверка численно ниже (см. координатное доказательство): синтетическое рассуждение гарантирует соотношение, а проверка конкретных отношений подтверждает знак.
2) Координатное доказательство на конкретной конфигурации (прямой расчёт ориентированных отношений).
Вычислим ориентированные длины вдоль соответствующих прямых:
- По $AB$ (ось $x$): $BZ=6-2=4,ZA=2-0=2$, значит
$$\frac{BZ}{ZA}=\frac{4}{2}=2.$$ - По $AC$ (ось $y$ при $x=0$): координаты $A_y=0,Y_y=-2,C_y=6$. Тогда ориентированные отрезки вдоль направления от $A$ к $C$:
$$AY=-2-0=-2,YC=6-(-2)=8,\frac{AY}{YC}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}.$$ (отрицательный знак — потому что $Y$ лежит на продолжении $AC$ за $A$.)
- По $BC$ (перекос): берём проекции на ось $x$ или параметризацию. По $x$-координате:
$$C_x-X_x=0-4=-4,X_x-B_x=4-6=-2,\text{поэтому}\frac{CX}{XB}=\frac{-4}{-2}=2.$$ Теперь произведение:
$$\frac{BZ}{ZA}\cdot \frac{AY}{YC}\cdot \frac{CX}{XB}=2\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 2=-1,$$ что подтверждает Менелая для данной конфигурации.
Сопоставление методик (кратко):
- Простота: координатный метод часто проще для явной проверки в конкретном примере (просто подставить и посчитать). Синтетический метод требует понимания относительных ориентаций и сходства/площадей, но даёт более «теоретическое» объяснение.
- Общность: синтетическое доказательство (через площади или подобие) сразу даёт утверждение в общем виде для всех случаев(включая случаи точек на продолжениях); координатный метод тоже полностью общий, но требует выбора системы координат и может быть громоздким для сложных случаев.
- Возможности обобщения: синтетические подходы (площади, подобие, проективные преобразования) естественно обобщаются — например в проективной геометрии Менелая — и легче дают инвариантные формулировки. Координатный метод обобщается через векторы/барицентрические/барицентрические координыты, но приводит к алгебраическим вычислениям.
Вывод: для интуиции и теоретических обобщений синтетический (площадной/подобный) метод предпочтителен; для конкретной проверки числового примера — координатный метод быстрее.