Утверждение ложно.
Короткий аргумент по несогласованности: для невырожденной триангуляции выпуклого $n$-угольника требуется ровно $n-3$ непересекающихся диагоналей и получается $n-2$ треугольника. Утверждение требует $n-1$ диагоналей — это противоречие по счёту (если добавлять диагонали, не все они могут быть непересекающимися, и тогда число областей изменяется иначе). Поэтому в заявленной формулировке ответ «нет».
Если исправить формулировку на естественную: «существует триангуляция (т.е. $n-3$ диагоналей), разбивающая $n$-угольник на $n-2$ треугольников одинаковой площади?», то и это в общем ложь. Причина: равенство площадей треугольников в конкретной триангуляции даёт систему уравнений линейных выражений от координат вершин. В общем случае это система несколько независимых уравнений, которую «случайный» выпуклый многоугольник не удовлетворяет (такое свойство имеет меру ноль в пространстве конфигураций вершин).
Примеры и критерии
1) Контрпример (самый простой): $n=4$. У квадрата/параллелограмма диагональ делит площадь пополам, но для общего выпуклого четырёхугольника это не обязательно. Например, вершины
$A=(0,0),B=(2,0),C=(3,1),D=(0,1)$.
Площади треугольников при диагонали $AC$ равны $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2}$ — неравны; при другой диагонали тоже не получим деления пополам. Значит уже для $n=4$ не всегда существует триангуляция на 2 равные площади.
2) Общий критерий в удобной форме. Фиксируем триангуляцию (список треугольников по вершинам). Если вершины многоугольника $v_1,\dots ,v_n$ имеют координаты в плоскости, то площадь треугольника $(v_i,v_j,v_k)$ равна
Sijk=12∣(vj−vi)×(vk−vi)∣. S_{ijk}=\tfrac12\big|(v_j-v_i)\times(v_k-v_i)\big|.
Sijk =21 (vj −vi )×(vk −vi ) . Требование «все $n-2$ площадей равны $\frac{S_{\text{total}}}{n-2}$» даёт систему линейно-некоторых (через абсолютные значения и знаки) уравнений по координатам вершин. Необходимое и достаточное условие существования такой триангуляции: для некоторой триангуляции эта система совместна. Это чисто алгебраическое условие (в общем положении оно не выполняется).
3) Положительные примеры. Многоугольник, специально построенный из цепочки равных по площади треугольников, конечно удовлетворяет. Также симметричные многоугольники (параллелограмм для $n=4$, некоторые специально симметричные конфигурации для больших $n$) могут допускать равные площади.
Итог: исходная формулировка противоречива (некорректно указано число диагоналей). Исправленная и естественная задача («есть ли триангуляция на $n-2$ треугольников равной площади?») также не имеет общего положительного ответа: это требует выполнения определённых линейных соотношений между координатами вершин, и большинство выпуклых $n$-угольников их не удовлетворяет.