Кратко: для любого $X$ внутри тетраэдра ABCD с $AB=AC=AD$ функция
$f(X)=XB+XC+XD$ достигает минимума на плоскости грани $BCD$. Минимум на этой плоскости совпадает с классической задачей Ферма для треугольника $BCD$: если все углы треугольника $BCD$ меньше $120^{\circ }$, единственная точка минимума — точка Торричелли (Ферма) внутри треугольника, в которой все углы между отрезками до вершин равны $120^{\circ }$; если некоторый угол треугольника $\ge 120^{\circ }$, минимум равен вершине с таким углом. Ниже — геометрическое, векторное и вариационное обоснования.
1) Сведение к плоскости $BCD$ (простой аналитический аргумент).
Пусть $h$ — расстояние точки $X$ до плоскости $BCD$, $X^{\prime }$ — ортопроекция $X$ на эту плоскость. Тогда
$$XB=\sqrt{X^{\prime }{B}^2+h^2},XC=\sqrt{X^{\prime }{C}^2+h^2},XD=\sqrt{X^{\prime }{D}^2+h^2},$$ и для фиксированного $X^{\prime }$ каждая функция $\sqrt{a+h^2}$ монотонно возрастает по $h$ (производная $\frac{h}{\sqrt{a+h^2}}\ge 0$, равна нулю только при $h=0$). Следовательно для любого $X$ существует точка $X^{\prime }$ в плоскости $BCD$ с не большей суммой расстояний, а минимум по всем $X$ достигается при $h=0$, т.е. на плоскости $BCD$. Значит задачу можно рассматривать как двумерную: минимизация $f(X)=XB+XC+XD$ по $X$ в треугольнике $BCD$.
2) Геометрический подход (классический для трёх точек).
Классический результат: для трёх точек в плоскости
- если все углы треугольника $BCD$ меньше $120^{\circ }$, существует единственная внутренняя точка $F$ (точка Ферма), такая что
$$\angle BFC=\angle CFD=\angle DFB=120^{\circ },$$ и она даёт минимальную сумму $XB+XC+XD$. Конструкция: на каждой стороне треугольника постройте равносторонние треугольники наружу и соедините новые вершины с противоположными вершинами; пересечение этих трёх отрезков даёт точку Ферма. Доказательство минимальности делается поворотом одного из отрезков на $60^{\circ }$ и применением неравенства треугольника: при выборе $X=F$ соответствующие три отрезка «выровниваются» и получают кратчайшую сумму.
- если некоторый угол, скажем $\angle B$, не меньше $120^{\circ }$, то минимум достигается в вершине $B$ (любая внутренняя точка даёт большую сумму).
3) Векторный/вариационный подход (необходимое условие стационарности).
Рассмотрим дифференцируемую функцию $f$ на плоскости (внутри треугольника, если $X$ не совпадает с вершинами). Производная по направлению $v$ в точке $X$ равна
ddt∣t=0f(X+tv)=∑P∈{B,C,D}(X−P)⋅v∣X−P∣. \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} f(X+t v)=\sum_{P\in\{B,C,D\}} \frac{(X-P)\cdot v}{|X-P|}.
dtd t=0 f(X+tv)=P∈{B,C,D}∑ ∣X−P∣(X−P)⋅v . Требование нулевой первой вариации для всех $v$ даёт векторное равенство
$$\sum _{P\in \{B,C,D\}}\frac{X-P}{|X-P|}=0.$$ Это означает равновесие трёх единичных векторов, направленных от $B,C,D$ к $X$, что возможно лишь когда между ними попарно углы равны $120^{\circ }$ (случай внутренней точки) — даёт точку Ферма. Если такого $X$ внутри треугольника не существует (когда какой‑то угол $\ge 120^{\circ }$), условие не выполняется и минимум на достижим при вершине с большим углом. Поскольку функция $f$ — сумма норм (выпуклых функций) — выпукла, найденная стационарная точка является глобальным минимумом; в случае строгой ситуации с углами $<120^{\circ }$ минимум единственен.
4) Роль условия $AB=AC=AD$.
Условие $AB=AC=AD$ означает, что проекция вершины $A$ на плоскость $BCD$ совпадает с описанным центром (окружность через $B,C,D$) — то есть $A$ лежит на перпендикуляре, проходящем через окружность треугольника $BCD$. Это даёт дополнительную осевую симметрию тетраэдра, но не меняет решения для минимизации суммы расстояний до $B,C,D$: оптимальная точка всегда лежит в плоскости $BCD$ и определяется только формой треугольника $BCD$. В частном случае, если $BCD$ — равносторонний, точка Ферма совпадает с центром $O$ окружности, и тогда $O$ (пересечение с осью $AO$) — минимизатор.
5) Замечание о внутренности тетраэдра.
Если под «внутри тетраэдра» понимается открытый объём (исключая грани), то при общем положении минимум достигается на грани $BCD$, т.е. не внутри открытого объёма; следовательно внутри открытого тетраэдра минимизатор не существует, есть лишь инфимум, достигаемый на грани. Если же допускается замыкание (включая грани), то ответ как выше: точка Ферма или соответствующая вершина.
Итог: множество точек $X$ внутри (в смысле замыкания) тетраэдра ABCD, минимизирующих $XB+XC+XD$, равно множеству решений задачи Ферма для треугольника $BCD$: либо единственная внутренняя точка треугольника с углами $120^{\circ }$ (если все углы $<120^{\circ }$), либо та вершина $B$ или $C$ или $D$, угол которой $\ge 120^{\circ }$. Геометрический, векторный и вариационный подходы дают одинаковое заключение и дополняют друг друга: геометрика даёт конструкцию и интуицию, векторный/вариационный — строгую формулу стационарности и обоснование уникальности через выпуклость.