Геометрическое место — эллипс с фокусами $O$ (центр описанной окружности) и $H$ (ортоцентр), заданный уравнением
$$XO+XH=R,$$ где $X$ — центр искомой окружности, $R$ — радиус описанной окружности.
Доказательство (кратко).
1) Пусть окружность $\omega$ с центром $X$ проходит через $H$ и касается описанной окружности $(O,R)$ в точке $T$. Тогда точки $O,X,T$ коллинеарны, радиусы к точке касания сонаправлены, и если радиус $\omega$ равен $r$, то при внутреннем касании
$$XO=R-r.$$ Поскольку $\omega$ проходит через $H$, имеем $r=XH$. Следовательно
$$XO+XH=R.$$
2) Внешнее касание исключено: по неравенству треугольника для точек $O,X,H$ имеет место $|XO-XH|\le OH$, а в остроугольном треугольнике $H$ лежит внутри описанной окружности, значит $OH<R$, поэтому равенство $XO-XH=R$ невозможно.
3) Обратное направление: если точка $X$ удовлетворяет $XO+XH=R$, положим $r=XH$. Тогда $XO=R-r$, следовательно окружности с центрами $O$ и $X$ и радиусами $R$ и $r$ соответственно касаются внутренне, а окружность радиуса $r$ проходит через $H$. Значит любая такая точка $X$ даёт требуемую окружность.
Таким образом искомое геометрическое место центров — эллипс с фокусами $O$ и $H$ и суммой расстояний до фокусов, равной $R$.