Пусть данa окружность с центром $O$ и радиусом $R$, и фиксированная точка $A$ на этой окружности. Нужно найти геометрическое место точек $M$ — середин хорд, проходящих через $A$.
Геометрическое доказательство.
- Пусть $AX$ — хорда окружности, $M$ — её середина. Перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности, значит $OM\perp AX$. Так как $M$ лежит на отрезке $AX$, получается $OM\perp AM$, то есть $\angle OMA=90^{\circ }$. По теореме Фалеса точка $M$ лежит на окружности с диаметром $OA$.
- Обратно: если точка $M$ лежит на окружности с диаметром $OA$, то $\angle OMA=90^{\circ }$. Прямая $AM$ пересекает исходную окружность в точке $A$ и в некоторой точке $X$; поскольку $OM\perp AM$, отрезок $OM$ — перпендикуляр к хорде $AX$, следовательно он проходит через её середину, то есть $M$ — середина $AX$.
Следовательно, множество всех середин хорд окружности, проходящих через фиксированную точку $A$, совпадает с окружностью, имеющей диаметр $OA$ (включая концы диаметра).
Координатная иллюстрация (коротко). Положим $O=(0,0)$, $A=(R,0)$. Пусть вторая точка хорды имеет параметр угла $\theta$: $X=(R\cos \theta ,R\sin \theta )$. Тогда середина
$$M=(\frac{R+R\cos \theta }{2},\frac{R\sin \theta }{2})=(R{\cos }^2\frac{\theta }{2},R\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}).$$ Из этого легко следует уравнение
$$(x-\frac{R}{2}{)}^2+y^2=(\frac{R}{2}{)}^2,$$ т.е. окружность радиуса $\frac{R}{2}$ с центром в середине отрезка $OA$.