Кратко: теорема Чевы (в ориентированном виде) даёт условие сопряжённости трёх цевиан в вершинах треугольника $ABC$:
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1,$$ где $D\in BC,E\in CA,F\in AB$ (ориентированные отрезки).
1) Доказательство через площади (схема)
- Основная наблюдение: для точки $D$ на $BC$ $$\frac{BD}{DC}=\frac{[ABD]}{[ADC]},$$ потому что треугольники $ABD$ и $ADC$ имеют общую высоту из $A$.
- Аналогично $\frac{CE}{EA}=\frac{[BCE]}{[BEA]},\frac{AF}{FB}=\frac{[CAF]}{[CBF]}$.
- Умножая три равенства, получаем
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=\frac{[ABD][BCE][CAF]}{[ADC][BEA][CBF]}.$$ При условии пересечения цевиан в одной точке соответствующие малые площади попарно «сочетаются» (или, рассматривая разбиение треугольника на шесть малых треугольников, можно показать телескопическое сокращение), откуда правое отношение равно $1$. Обратное направление доказывается аналогично, раскладывая на площади.
Плюсы метода площадей:
- Интуитивен и геометрически прозрачен.
- Хорош для задач, где надо сравнивать или находить отношения площадей, работать с высотами, медианами, центрами тяжести.
- Лёгко адаптируется к трюкам с массовыми точками (mass points) для быстрого вычисления отрезков в олимпиадных задачах.
Минусы:
- Менее удобен для вычислений координат/координатных выражений или сложных алгебраических преобразований.
- Требует аккуратности с ориентированными площадями при случаях пересечений вне отрезков.
2) Доказательство через векторы / барицентрические координаты (схема)
- Барицентрические координаты: любая точка относительно $ABC$ задаётся троицей пропорциональных весов $(x:y:z)$. Точка $D\in BC$ имеет вид $(0:y:z)$. Если $BD:DC=\lambda :\mu$, то можно взять $D=(0:\mu :\lambda )$.
- Пусть цевианы $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке $P=(p:q:r)$ (барицентрически). Тогда точка пересечения $AD\cap BC$ имеет координаты $(0:q:r)$, значит
$$\frac{BD}{DC}=\frac{r}{q},\frac{CE}{EA}=\frac{p}{r},\frac{AF}{FB}=\frac{q}{p}.$$ Произведение даёт $1$. Обратное также: из данных соотношений можно восстановить общие пропорции $p:q:r$, значит линии пересекаются в одной барицентрической точке.
Плюсы метода барицентрических/векторных:
- Алгебраически строг и удобен для вычислений, когда нужно найти явные координаты точек пересечения, длины, уравнения прямых.
- Лёгко автоматизируется, применяется в аналитических доказательствах и при обобщениях (трилинеарные координаты, проективная геометрия).
- Естественно совмещается с методами линейной алгебры (детерминантные условия на конкуренцию).
Минусы:
- Требует введения координат/весов — менее «чистая» синтетика, иногда даёт громоздкие вычисления.
- Меньше интуитивности для задач, где важна именно геометрическая идея площадей/высот.
3) В каких задачах что предпочтительнее
- Метод площадей (и mass points): лучше в олимпиадных задачах, где нужно быстро получить отношения отрезков, работать с площадями, медианами, или дать краткое синтетическое решение. Часто короче и «нагляднее».
- Барицентрические/векторные методы: предпочтительны для задач, где нужно вычислить координаты, получить явные выражения, работать с композициями преобразований, проектными/тригонометрическими обобщениями, или когда присутствует большое количество алгебраической информации (например, задача сводится к системе линейных уравнений).
- Частые гибриды: mass points — это по сути частный случай барицентрических подходов, но подаётся в форме площадей/весов и часто даёт самое простое решение.
4) Практические замечания
- Всегда оговаривайте ориентирование отрезков/площадей (знак в Ceva важен при внешних пересечениях).
- Для угловых задач чаще удобнее тригонометрическая Чева:
$$\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}\cdot \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle EBA}\cdot \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle FCB}=1.$$ - Выбор метода определяется характером задачи: ищется ли понятная геометрическая интуиция (площади) или нужны точные алгебраические вычисления/генерализации (барицентрики/векторы).
Краткий вывод: площади — быстрый и наглядный инструмент для соотношений и олимпиадной синтетики; барицентрики/векторы — мощный вычислительный аппарат для аналитики и обобщений.