Обозначения. Пусть окружность лежит в плоскости $\pi$, её центр $O$, радиус $R$. Заданная длина хорды — $l$. Точка $P$ — произвольная точка пространства, не лежащая на окружности (может лежать в $\pi$ или вне $\pi$).
Ключевое замечание. Если прямая $m\subset \pi$ проходит на расстоянии $x$ от $O$, то соответствующая хорда имеет длину
$$2\sqrt{R^2-x^2}.$$ Значит для заданной длины $l$ необходима и достаточна дистанция
$$d=\sqrt{R^2-(l/2{)}^2},$$ (существует только при $0<l\le 2R$; при $l=2R$ — $d=0$).
Построение и обоснование.
1. В плоскости $\pi$ построить круг $k$ с центром $O$ и радиусом $d$.
2. Все искомые плоскости получаются так: пусть $t$ — прямая в $\pi$, являющаяся касательной к $k$. Тогда прямая $t$ лежит на расстоянии $d$ от $O$, значит пересечение $t$ с заданной окружностью — хорда длины $l$. Любая плоскость, содержащая и точку $P$, и эту прямую $t$, пересечёт окружность по искомой хордe.
Особые случаи и условия существования:
- Необходимое условие: $0<l\le 2R$. При $l>2R$ решений нет.
- Случай $P\notin \pi$: для каждой касательной $t$ к $k$ существует единственная плоскость через $P$ и $t$. Так получаем бесконечно много решений (при $d>0$); при $d=0$ ($l=2R$) берем любые прямые в $\pi$, проходящие через $O$, и плоскости через $P$ и эти прямые.
- Случай $P\in \pi$: если $P\in \pi$, то плоскость через $P$ и прямая $t\subset \pi$ даёт пересечение $\pi$ по $t$ только когда $t$ проходит через $P$. Значит требуется наличие касательных к $k$, проходящих через $P$. Это возможно тогда и только тогда, когда $OP\ge d$. Тогда таких касательных 1 (если $OP=d$) или 2 (если $OP>d$); для каждой такой прямой $t$ любая плоскость, содержащая $t$ (и, разумеется, $P\in t$), даёт требуемую хордe (обычно таких плоскостей бесконечно много, они вращаются вокруг $t$).
Итог: постройте в $\pi$ круг радиуса $d=\sqrt{R^2-(l/2{)}^2}$ и его касательные; каждую касательную совместно с точкой $P$ разверните в плоскость — это и будут все искомые плоскости.