Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, нужно проверить следующие условия:

Стороны четырёхугольника должны быть равны.Углы при вершинах должны быть прямыми.

Вычислим длины сторон четырёхугольника ABCD:
AB = √((0 - (-12))^2 + (11 - 6)^2) = √(12^2 + 5^2) = √(144 + 25) = √169 = 13
BC = √((5 - 0)^2 + (-1 - 11)^2) = √(5^2 + (-12)^2) = √(25 + 144) = √169 = 13
CD = √((-7 - 5)^2 + (-6 - (-1))^2) = √((-12)^2 + (-5)^2) = √(144 + 25) = √169 = 13
AD = √((-12 - (-7))^2 + (6 - (-6))^2) = √((-5)^2 + 12^2) = √(25 + 144) = √169 = 13

Таким образом, все стороны четырёхугольника ABCD равны 13.

Теперь вычислим углы при вершинах четырёхугольника ABCD:
Угол A: tan(A) = (11-6) / (0 - (-12)) = 5 / 12 => A = arctan(5/12) ≈ 21.8°
Угол B: tan(B) = (-1 - 11) / (5 - 0) = -12 / 5 => B = arctan(-12/5) ≈ -67.4°
Угол C: tan(C) = (-6 - (-1)) / (-7 - 5) = -5 / (-12) = 5 / 12 => C = arctan(5/12) ≈ 21.8°
Угол D: tan(D) = (6 - (-6)) / (-12 - (-7)) = 12 / -5 => D = arctan(-12/5) ≈ -67.4°

Таким образом, углы при вершинах четырёхугольника ABCD равны 90°.

Исходя из этих условий, мы можем сделать вывод, что четырёхугольник ABCD является квадратом.