Пусть острый угол между диагоналями прямоугольника равен x градусов.

Так как биссектриса угла между диагональю и одной из сторон прямоугольника делит угол на две равные части, то угол между биссектрисой и стороной прямоугольника равен 18/2 = 9 градусов.

Также из свойств биссектрисы известно, что треугольник, образованный диагональю, биссектрисой и стороной, является равнобедренным. Значит, угол между диагональю и стороной прямоугольника равен 90-9 = 81 градус.

Тогда, сумма углов треугольника равна 180 градусов, значит

x + 81 + 90 = 180

x + 171 = 180

x = 180 - 171

x = 9

Ответ: острый угол между диагоналями прямоугольника равен 9 градусов.