- Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом (вершиной). Элементы: вершина и стороны (лучи). Мера угла обычно в градусах или радианах. Типы: острый ($<90^{\circ }$), прямой ($=90^{\circ }$), тупой ($>90^{\circ }$), развернутый ($=180^{\circ }$), рефлексный ($>180^{\circ }$). Соотношение градусов и радиан: $180^{\circ }=\pi$ радиан.
- Треугольник — многоугольник из трех вершин и трех сторон. Обозначим стороны $a,b,c$ и противолежащие им углы $A,B,C$. Основные свойства:
- Сумма внутренних углов: $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$.
- Неравенство треугольника: $a+b>c,a+c>b,b+c>a$.
- Периметр: $P=a+b+c$.
- Площадь (несколько формул): основание*высота $S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h_b$; по двум сторонам и синусу угла между ними $S=\frac{1}{2}ab\sin C$; по формуле Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p=\frac{a+b+c}{2}$.
- Классификация: по сторонам — равносторонний, равнобедренный, разносторонний; по углам — остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.
- Биссектриса — луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. В треугольнике биссектриса, проведённая из вершины $A$ к стороне $BC$ (точка пересечения $D$), удовлетворяет теореме биссектрисы:
$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$ Длина внутренней биссектрисы из вершины $A$: $l_a=\frac{2bc\cos \frac{A}{2}}{b+c}=\sqrt{bc(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2})}.$ Существуют также внешние биссектрисы (делят внешний угол пополам).
- Важные правила/утверждения (коротко):
- Сумма смежных углов, образующих прямую, равна $180^{\circ }$.
- Вертикальные углы равны.
- При параллельных прямых соответствующие и попеременно внутренние углы равны.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух противоположных внутренних углов.
- Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилегающих сторон (см. теорему выше).