Краткий ответ (утверждение и алгоритм).
Утверждение. Пусть $P$ — выпуклый $n$-угольник с вершинами в порядке $v_1,v_2,\dots ,v_n$. Достаточно и (при естественных условиях на выпуклость) необходимо знать для одной фиксированной вершины $v_1$:
- расстояния до остальных вершин $d_k=|v_1{v}_k|$, $k=2,\dots ,n$;
- углы между соседними лучами $v_1{v}_k$ и $v_1{v}_{k+1}$, т.е. ${\alpha }_k=\angle (v_k{v}_1{v}_{k+1})$ для $k=2,\dots ,n-1$,
при условии $0<{\alpha }_k<\pi$ и ${\sum }_{k=2}^{n-1}{\alpha }_k<2\pi$. Тогда $P$ единственным образом (с точностью до переноса и поворота и зеркального отражения) восстанавливается из данных $\{d_k,{\alpha }_k\}$.
Краткое обоснование. Если поместить $v_1$ в начало координат и зафиксировать направление первого луча, то направления остальных лучей однозначно задаются кумулятивными суммами
$${\varphi }_2=0,{\varphi }_k=\sum _{j=2}^{k-1}{\alpha }_j(k=3,\dots ,n).$$ Тогда координаты вершин получают вид
$$v_k=d_k(\cos {\varphi }_k,\sin {\varphi }_k),k=2,\dots ,n,$$ и $v_1=(0,0)$. При указанных ограничениях на ${\alpha }_k$ и при том, что полученный многоугольник оказывается выпуклым и вершины идут в правильном порядке, этот набор векторов задаёт единственный (до евклидовых движений и отражения) $n$-угольник.
Алгоритм восстановления (пошагово).
1. Выбрать ориентацию: поместить $v_1$ в $(0,0)$ и положить направление луча $v_1{v}_2$ вдоль положительной оси $x$.
2. Посчитать углы ${\varphi }_k$ по формуле ${\varphi }_2=0,{\varphi }_k={\sum }_{j=2}^{k-1}{\alpha }_j$.
3. Вычислить координаты вершин $v_k=d_k(\cos {\varphi }_k,\sin {\varphi }_k)$, $k=2,\dots ,n$.
4. Получить многоугольник с вершинами $v_1,v_2,\dots ,v_n$. Проверить выпуклость (например, знаки ориентированных площадей соседних треугольников одинаковы). Если проверка не проходит — данные несовместимы с выпуклым $n$-угольником.
Замечания и уточнения.
- Если известны только длины всех диагоналей (без углов между ними), задача в общем не единственна (простая контрпримера — невырожденный четырёхугольник: одни и те же длинны диагоналей могут соответствовать разным углу между ними).
- Аналогичный результат: если задана какая-либо триангуляция многоугольника и для каждой треугольной ячейки заданы либо все три стороны, либо две стороны и угол между ними, то полигон восстанавливается путём поочередного «склеивания» треугольников (это стандартный метод, сложность линейная по числу вершин).
- Сложность предложенного алгоритма — $O(n)$ арифметических операций (вычисления сумм углов и косинусов/синусов).
- Симметрия: восстановление однозначно до общего поворота/переноса и зеркального отражения (если ориентация лучей не ориентирована).
Если нужно — приведу подробный пример для конкретных числовых данных.