Ниже — компактное исследование касательных плоскостей к квадрике (на примере эллипсоида) и связь уравнений с главными осями и кривизной.
1) Уравнение эллипсоида и касательной плоскости
- Эллипсоид в координатах главных осей:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$$ - В точке $x_0=(x_0,y_0,z_0)$ касательная плоскость через градиент $F(x)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1$:
$$\nabla F(x_0)\cdot (x-x_0)=0$$ что даёт явное уравнение
$$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}+\frac{z_{0}z}{c^2}=1.$$
2) Общая форма квадрики и касательная плоскость
- Общая квадрика центра в начале координат: $x^{T}Qx=1$, где $Q$ — симметричная положительно-определённая матрица.
- Касательная плоскость в точке $x_0$ (градиент $2Q{x}_0$) имеет уравнение
$$x_0^{T}Qx=1.$$ - Нормаль (не нормированная) в этой точке: $n=Q{x}_0$.
3) Приведение к главным осям (диагонализация)
- Диагонализуем $Q$: $Q=R^{T}DR$, где $R$ ортогональна, $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$.
- При преобразовании $y=Rx$ уравнение становится
$${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+{\lambda }_3{y}_3^2=1,$$ а касательная плоскость $x_0^{T}Qx=1$ превращается в $y_0^{T}Dy=1$. Таким образом уравнения касательных плоскостей в любых координатах связаны через ортогональное преобразование, и в системе главных осей $Q$ — диагональна.
4) Вторая фундаментальная форма и кривизна (для квадрики)
- Рассмотрим функцию уровня $F(x)=x^{T}Qx-1$. Гесссиан $H_F=2Q$ — константа.
- Для касательной векторa $u$ (такого что $u\cdot (Q{x}_0)=0$) вторая фундаментальная форма даётся формулой
$$\mathrm{II}(u,u)=\frac{u^T(2Q)u}{\Vert 2Q{x}_0\Vert }=\frac{u^{T}Qu}{\Vert Q{x}_0\Vert }.$$ - Первая фундаментальная форма в евклидовой метрике — $\mathrm{I}(u,u)=\Vert u{\Vert }^2$. Оператор формы кривизны (оператор Вайзенберга) равен проекции матрицы $Q$ на касательное пространство, масштабированной на $1/\Vert Q{x}_0\Vert$. Иначе:
$$S=\frac{P_{T}Q{P}_T}{\Vert Q{x}_0\Vert },$$ где $P_T$ — ортопроектор на касательное пространство в точке $x_0$.
- Главные кривизны — собственные значения $S$; главные направления — соответствующие собственные векторы (в касательной плоскости).
5) Почему главные направления связаны с главными осями квадрики
- Поскольку $Q$ симметрична, в базисе её собственных векторов (главные оси квадрики) матрица $Q$ диагональна. Тогда проекция $P_{T}Q{P}_T$ в этом базисе имеет простой вид и собственные векторы для $S$ получаются из проекций собственных векторов $Q$. Следовательно главные направление кривизны на поверхности квадрики связаны с направлением главных осей квадрики (в системе главных осей вычисления значительно упрощаются).
6) Пример: эллипсоид в точке на оси $x$ - Возьмём точку $x_0=(a,0,0)$. Тогда $Q=\mathrm{diag}(1/a^2,1/b^2,1/c^2)$, $Q{x}_0=(1/a,0,0)$, $\Vert Q{x}_0\Vert =1/a$.
- Касательное пространство порождается векторами вдоль $y$- и $z$-осьей; вторая форма на базисных векторах даёт:
$$\mathrm{II}(e_y,e_y)=\frac{1/b^2}{1/a}=\frac{a}{b^2},\mathrm{II}(e_z,e_z)=\frac{1/c^2}{1/a}=\frac{a}{c^2}.$$ Отсюда главные кривизны в точке $(a,0,0)$:
$$k_1=\frac{a}{b^2},k_2=\frac{a}{c^2}.$$
Краткое резюме:
- Уравнение касательной плоскости к квадрике $x^{T}Qx=1$ в точке $x_0$ — $x_0^{T}Qx=1$; нормаль пропорциональна $Q{x}_0$.
- Диагонализация $Q$ (переход к главным осям) упрощает уравнения и расчёт кривизн.
- Вторая фундаментальная форма для квадрики определяется постоянным гессианом $2Q$, а главные кривизны — собственные значения оператора $\frac{P_{T}Q{P}_T}{\Vert Q{x}_0\Vert }$; поэтому главные направления локально связаны с главным осями квадрики.