Кратко: для фокусировки параллельного пучка в заданную точку отражающая поверхность должна быть параболоидом (в частном случае — параболой в сечении). Ниже — пояснение и точные геометрические условия.
1) Закон отражения в векторной форме
Пусть падающий луч задаётся единичным вектором направления $\mathbf{d}$ (для параллельного пучка $\mathbf{d}$ одинаков для всех лучей), точка фокуса — $\mathbf{F}$, точка на поверхности — $\mathbf{P}$. Нормаль поверхности в $\mathbf{P}$ должна бисектировать угол между $-\mathbf{d}$ (входящий луч) и вектором к фокусу $\mathbf{F}-\mathbf{P}$. Эквивалентная векторная формулировка:
$$\mathbf{n}(\mathbf{P})\parallel \mathbf{d}+\frac{\mathbf{F}-\mathbf{P}}{\Vert \mathbf{F}-\mathbf{P}\Vert }$$ (где $\mathbf{n}(\mathbf{P})$ — нормаль поверхности в $\mathbf{P}$).
2) Условие равенства оптических путей (альтернативный способ)
Для лучей, приходящих параллельно $\mathbf{d}$ из бесконечности, сумма проекции точки $\mathbf{P}$ на направление падения и расстояния до фокуса должна быть постоянной:
$$-\mathbf{d}\cdot \mathbf{P}+\Vert \mathbf{F}-\mathbf{P}\Vert =C$$ это уравнение задаёт поверхность, отражающую все параллельные лучи в $\mathbf{F}$.
3) Частный удобный выбор системы координат и стандартный вид
Поставим ось $x$ вдоль направления падения (лучи идут вдоль оси $+x$), фокус в $(f,0,0)$ и вершина параболоиды в начале координат. Тогда в плоскости сечения получаем параболу:
$$y^2=4fx.$$ В трёхмерном случае параболоид вращения имеет уравнение
$$y^2+z^2=4fx,\text{или}x=\frac{y^2+z^2}{4f},$$ где $f$ — фокусное расстояние (координата фокуса $(f,0,0)$). Эта поверхность обеспечивает, что все лучи, параллельные оси $x$, после отражения проходят через $\mathbf{F}$.
4) Общие замечания и конструкции
- Если падающие лучи не по оси, достаточно повернуть параболоид так, чтобы его ось совпала с направлением $\mathbf{d}$ и фокус совпал с $\mathbf{F}$.
- Если источником является не бесконечность, а точечный источник в $\mathbf{S}$, то поверхность, фокусирующая от $\mathbf{S}$ в $\mathbf{F}$, задаётся как часть эллипсоида: сумма расстояний $\Vert \mathbf{P}-\mathbf{S}\Vert +\Vert \mathbf{P}-\mathbf{F}\Vert =$ const.
- Практически важна гладкость и точность формы: только параболоид даёт отсутствие сферической аберрации для параллельного пучка; отклонения приводят к расфокусу/аберрациям.
Итого: геометрическое условие — нормаль в каждой точке должна быть биссектором угла между направлением падающего параллельного луча и направлением на фокус (векторное условие выше), что в случае осесимметрии даёт параболоид с уравнением $y^2+z^2=4fx$.