Уточним формулировку и докажем близкое классическое утверждение.
Теорема. Пусть $P$ — выпуклый многоугольник, $r$ — радиус наибольшей вписанной в $P$ окружности (inradius). Тогда существует пара параллельных опорных прямых к $P$ (т. е. пара противоположных «границ» полосы, в которую вложен $P$), расстояние между которыми не меньше $2r$ — диаметра этой окружности.
Доказательство. Возьмём максимальную вписанную окружность $C$ радиуса $r$ с центром в $O$. Для любого направления (ортогонального некоторому вектору $\mathbf{u}$) рассмотрим ширину многоугольника $w(\mathbf{u})$ — расстояние между двумя параллельными опорными прямыми, перпендикулярными $\mathbf{u}$, которые касаются $P$ с противоположных сторон. Поскольку $C\subset P$, проекция $C$ на любое направление имеет длину ровно $2r$. Следовательно проекция $P$ на то же направление не короче проекции $C$, значит
$$w(\mathbf{u})\ge 2r\text{для любого направления}\mathbf{u}.$$ В частности, существует пара опорных прямых (для любого выбранного направления) расстояние между которыми не меньше $2r$. Эти опорные прямые касаются $P$ в граничных точках; в частных случаях касание происходит по сторонам, в иных — в вершинах.
Замечание. Если в формулировке требуется именно пара сторон (т. е. прямых, содержащих стороны) и не допускаются касательные, проходящие только через вершины, то может потребоваться дополнительное уточнение: часто утверждение формулируют именно про опорные прямые или про ширину фигуры. Равенство $w(\mathbf{u})=2r$ достигается, например, когда $P$ содержит вписанную окружность и опорные прямые в некотором направлении одновременно касаются этой окружности.