Кратко — что такое инверсия. Для центра инверсии $O$ и радиуса $R$ точке $P\ne O$ ставится в соответствие точка $P^{\prime }$ на луче $OP$ такая, что
$$OP\cdot O{P}^{\prime }=R^2.$$ В координатах с центром в $O$ это записывается как
$${\mathbf{x}}^{\prime }=\frac{R^2}{\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2}\mathbf{x},$$ в комплексной форме (при $O=0$) — как $z^{\prime }=\frac{R^2}{\overline{z}}$. Инверсия сохраняет величину угла между кривыми, но обращает ориентацию угла.
Серия учебных задач с пояснениями, примерами и контрпримером (порядок — от простого к сложному).
1) Базовое построение и вычисление
- Задача. Для $O=(0,0)$, $R=2$ найти образ точки $P=(1,0)$.
- Подсказка. Используйте $OP\cdot O{P}^{\prime }=R^2$.
- Решение. $OP=1$, значит $O{P}^{\prime }=\frac{4}{1}=4$. Так что $P^{\prime }=(4,0)$.
2) Образ окружности, не проходящей через центр
- Задача. Докажите, что окружность $C:|\mathbf{x}-\mathbf{c}|=r$ не проходящая через $O$ инвертируется в другую окружность.
- Подсказка. Подставьте $\mathbf{x}=\frac{R^2}{\Vert \mathbf{y}{\Vert }^2}\mathbf{y}$ (образ точки $\mathbf{y}$) в уравнение $C$ и умножьте на $\Vert \mathbf{y}{\Vert }^2$.
- Короткое пояснение. Подстановка даёт квадратичную алгебраическую зависимость для $\mathbf{y}$, которая описывает окружность (не линию), поскольку условие «$C$ не содержит $O$» исключает вырождение.
3) Образ окружности, проходящей через центр
- Задача. Покажите, что окружность, проходящая через $O$, переходит в прямую.
- Пояснение. Уравнение окружности, проходящей через $O$, при той же подстановке становится линейным относительно $\mathbf{y}$ (степень сокращается), значит образ — прямая.
4) Образы прямых
- Факты, которые нужно доказать и проиллюстрировать:
- прямая, проходящая через $O$, инвариантна (переходит в себя);
- прямая, не содержащая $O$, переходит в окружность, проходящую через $O$.
- Короткая проверка. Прямая задаётся уравнением $⟨\mathbf{n},\mathbf{x}⟩=d$. Если $d\ne 0$, после подстановки образ даёт окружность, если $d=0$ (прямая через $O$) — линейное уравнение остаётся линейным.
5) Сохранение углов (инвариантность углов)
- Задача. Объясните, почему инверсия сохраняет величину угла между двумя кривыми, но меняет ориентацию.
- Пояснение (кратко). В комплексной записи $z\mapsto R^2/\overline{z}$ это сопряжённо-обратное отображение: композиция отображения $z\mapsto R^2/z$ (меро-голоморфное, сохраняющее ориентацию) и комплексного сопряжения (обращающего ориентацию). Следовательно, модуль угла сохраняется, а порядок обхода (направление) меняется. Геометрически: при малых масштабах инверсия локально равна композиции поворота/растяжения и отражения.
6) Тангентность и углы при пересечении
- Задача. Докажите, что если две кривые касаются в точке $P\ne O$, то их образы касаются в $P^{\prime }$.
- Пояснение. Из сохранения углов следует сохранение нулевого (касательного) угла → касание сохраняется.
7) Практические упражнения (на контроль понимания)
- Упражнение A. Даны две окружности, пересекающиеся под углом $\alpha$. Найдите угол между их образами при инверсии. (Ожидаемый ответ: $\alpha$.)
- Упражнение B. Постройте инверсию, которая превращает данную окружность $C$ в прямую (сформулируйте выбор центра $O$ и радиуса $R$). (Подсказка: возьмите $O$ на $C$.)
- Упражнение C. Пусть есть прямая $l$ и точка $A$ вне неё. Найдите центр инверсии $O$ (на $l$), при которой образ прямой $l$ — окружность, проходящая через $A$. (Подсказка: требуется, чтобы образ $A$ лежал на образе $l$.)
8) Иллюстративные примеры (конкретика)
- Пример 1. Возьмём $O=(0,0),R=1$. Окружность $C_1$ с центром $(2,0)$ и радиусом $\frac{1}{2}$ не содержит $O$; её образ — окружность с легко вычисляемыми центром и радиусом (через подстановку).
- Пример 2. Окружность $C_2$ центром $(1,0)$, радиус $1$ проходит через $O$. Её образ — прямая; можно явно получить уравнение этой прямой.
- Пример 3. Прямая $x=1$ при инверсии с центром $O=(0,0)$, $R=1$ перейдёт в окружность радиуса $\frac{1}{2}$, проходящую через $O$.
9) Контрпримеры — чего не сохраняет инверсия
- Контрпример 1 (длины). Инверсия не сохраняет расстояния: для $O=0,R=1$ точки $2$ и $3$ на оси вещественной дают образы $1/2$ и $1/3$, расстояние меняется.
- Контрпример 2 (ориентация). Если два ориентированных луча образуют положительный угол, после инверсии знак ориентации угла поменяется (угол по модулю тот же, но направление — обратное).
- Контрпример 3 (прямолинейность в общем случае). Инверсия не переводит произвольную кривую в кривую того же типа; только круги и прямые — особые объекты, переводящиеся в круги/прямые.
10) Задачи повышенной сложности (домашняя работа)
- Задача. Докажите алгебраически: при инверсии с центром в начале координат общий вид уравнения круга $\Vert x{\Vert }^2+2⟨a,x⟩+b=0$ переходит либо в уравнение круга, либо в уравнение прямой; выпишите критерий (в терминах $b$ и $a$) для случая «прохождение через начало».
- Задача. Покажите, что множество окружностей, ортогональных данной окружности инверсии, инвариантно (каждая такая окружность переводится в себя).
Рекомендации по преподаванию
- Начинайте с простых координатных примеров, чтобы студенты увидели действие правил на практике.
- Визуализация: используйте динамическую геометрию (GeoGebra) для показа перехода окружности↔прямая и сохранения углов.
- Подчеркивайте разницу «сохранение величины угла» vs «сохранение ориентации».
- Задавайте задачи типа «найди центр инверсии, который превращает A в B и С в D» — развивает пространственное мышление.
Если нужно, могу дать готовые подробные решения для выбранных задач (с алгебраическими выкладками и рисунками).