Пусть даны прямые $l_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ и $l_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$. Расстояния от точки $(x,y)$ до этих прямых равны
$$d_1=\frac{|a_{1}x+b_{1}y+c_1|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}},d_2=\frac{|a_{2}x+b_{2}y+c_2|}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$$ Условие задачи: $\frac{d_1}{d_2}=k>0$. Это эквивалентно
$$|a_{1}x+b_{1}y+c_1|=s|a_{2}x+b_{2}y+c_2|,\text{где}s=k\frac{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$$ Убирая модуль, получаем две линейные уравнения
$$a_{1}x+b_{1}y+c_1=s(a_{2}x+b_{2}y+c_2)\text{и}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=-s(a_{2}x+b_{2}y+c_2).$$ Их объединение даёт геометрическое место точек: две прямые (возможно совпадающие). В квадратной форме это
$$(a_{1}x+b_{1}y+c_1{)}^2-s^2(a_{2}x+b_{2}y+c_2{)}^2=0,$$ которое факторизуется как
$$(a_{1}x+b_{1}y+c_1-s(a_{2}x+b_{2}y+c_2))(a_{1}x+b_{1}y+c_1+s(a_{2}x+b_{2}y+c_2))=0,$$ поэтому всегда даёт пару прямых.
Анализ частных случаев:
- Если $l_1$ и $l_2$ пересекаются, то две полученные прямые проходят через точку их пересечения (для $k=1$ это биссектрисы углов).
- Если $l_1$ и $l_2$ параллельны, то обе полученные прямые также параллельны им (получаем две параллельные прямые).
- Гипербола не возникает: уравнение всегда раскладывается в произведение двух линейных множителей, поэтому множество точек — не коника второго порядка типа гиперболы, а пара прямых.