Коротко: да — есть общий алгебраический факт о пересечении «медиан», но он не даёт центра масс твердого тела в общем случае; для этого нужны дополнительные (обычно симметрии или «симплексная») условия. Дальше — формулировка и доказательство.
1) Определения.
- Пусть дано конечное множество вершин $v_1,\dots ,v_m\in {\mathbb{R}}^d$ (вершины многогранника). Для каждого $i$ положим центроид остальных вершин
$$c_i=\frac{1}{m-1}\sum _{j\ne i}{v}_j.$$ - Центр масс (объёма) многогранника $P$ при однородной плотности обозначим
$$G_{\text{vol}}=\frac{1}{\mathrm{Vol}(P)}{\int }_{P}xdV.$$
2) Общая теорема о пересечении «вершинных медиан» (алгебраический факт).
Точки $v_i$ и соответствующие им $c_i$ образуют семейство отрезков $v_i{c}_i$. Все эти отрезки пересекаются в одной общей точке
$$g=\frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{v}_k$$ (арифметическое среднее вершин). Более того, для каждого $i$ точка $g$ делит отрезок $v_i{c}_i$ в отношении
$$\text{длина}(v_{i}g):\text{длина}(g{c}_i)=m-1:1.$$
Доказательство (коротко). Для фиксированного $i$ $$(m-1)c_i=\sum _{k\ne i}{v}_k\Rightarrow \sum _{k=1}^m{v}_k=(m-1)c_i+v_i.$$ Поэтому
$$g=\frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{v}_k=\frac{m-1}{m}{c}_i+\frac{1}{m}{v}_i,$$ откуда ясно, что $g$ лежит на отрезке $v_i{c}_i$ и делит его в указанном отношении. Поскольку $i$ было произвольным, это верно для всех $i$.
3) Связь с центром масс твердого тела и дополнительные условия.
- Точка $g$ — это центр масс дискретной системы точек (одинаковая масса в каждой вершине), а не обязательно центр масс объёма $G_{\text{vol}}$ многогранника.
- Следовательно, чтобы точка пересечения этих «медиан» служила центром масс самого тела, требуется равенство
$$\frac{1}{m}\sum _{k=1}^m{v}_k=G_{\text{vol}}.$$ Это и есть необходимое и достаточное условие: пересечение отрезков $v_i{c}_i$ всегда равно среднему арифметическому вершин; оно равно объёмному центру тогда и только тогда, когда это среднее совпадает с объёмным центром.
4) Примеры и комментарии.
- Для симплекса (n‑мерного симплекса с $m=n+1$ вершинами) среднее вершин совпадает с объёмным центром; поэтому «медианы» (вершина → центроид противоположной грани) пересекаются в центре масс и делятся в отношении $n:1$.
- Для регулярных и некоторых симметричных многогранников (центр симметрии или высокие симметрии распределения вершин) равенство выше часто выполняется, поэтому пересечение даёт объёмный центр.
- В общем произвольном многограннике среднее вершин не равно объёмному центру, и тогда пересечение «вершинных медиан» (как определено выше) не даст центра масс тела; также в общем многограннике не всегда естественно определить «противоположную грань» для каждой вершины (кроме симплекса).
Итого: пересечение специально определённых отрезков от вершин до центроидов остальных вершин всегда существует и равно арифметическому среднему вершин; чтобы эта точка была центром масс объёма многогранника, нужно и достаточно, чтобы арифметическое среднее вершин совпадало с объёмным центром (обычно это требует дополнительных симметрий или того, что многогранник является симплексом).