Обозначим через $d_a,d_b,d_c$ расстояния точки $M$ до сторон $BC,CA,AB$. Рассматриваем множество
$$F(M)=d_a+d_b+d_c=k.$$
Ключевые замечания.
- Плоскость разбивается тремя прямыми (продолжениями сторон треугольника) на несколько областей; на каждой из этих областей каждое из расстояний $d_a,d_b,d_c$ представимо как линейная (неположительная/неотрицательная) функция координат точки, поэтому на каждой области $F(M)$ — аффинная (линейная) функция. Следовательно уровень $F(M)=k$ на каждой области — прямая (или пусто).
- Обозначим высоты треугольника $h_a,h_b,h_c$ (высота к сторонам $BC,CA,AB$); положим $h_{\min }=\min \{h_a,h_b,h_c\}$, $h_{\max }=\max \{h_a,h_b,h_c\}$.
Описание множества уровней по величине $k$.
1) Если $k<h_{\min }$, то решений нет (пусто). Действительно, в вершине с наименьшей высотой сумма равна этой высоте, меньше никак не получится.
2) Если $k=h_{\min }$ и этот минимум достигается в единственной вершине (например $h_{\min }=h_a$), то единственное решение — соответствующая вершина $A$. При равенстве двух или трёх высот соответствующие вырожденные случаи: две вершины или весь треугольник (в частности, при равных высотах — при равностороннем треугольнике — для $k=h$ все точки внутри треугольника дают сумму $h$).
3) Если $h_{\min }<k\le h_{\max }$, то множество $\{M:F(M)=k\}$ — треугольник, подобный $ABC$, лежащий внутри $ABC$ (вырождающийся в вершину при $k=h_{\max }$ и в другую вершину при $k\downarrow h_{\min }$). Короткая аргументация: для точек внутри $ABC$ имеют место равенства (через барицентрические коэффициенты $\lambda +\mu +\nu =1$, $\lambda ,\mu ,\nu \ge 0$)
$$d_a=\lambda h_a,d_b=\mu h_b,d_c=\nu h_c,$$ поэтому внутри $ABC$ условие $d_a+d_b+d_c=k$ эквивалентно линейному условию на $(\lambda ,\mu ,\nu )$ и даёт сечение симплекса — отрезок, который в образе в евклидовой плоскости даёт вершины треугольника, подобного $ABC$. Те же прямые (параллельные сторонам $ABC$) продолжаются и по краям, так что получаем внутренний подобный треугольник.
4) Если $k>h_{\max }$, то полное множество решений образует выпуклый шестиугольник (в общем положении) с рёбрами, параллельными сторонам $ABC$. Объяснение: вне $ABC$ выражение $F(M)$ остаётся кусочно-линейной функцией (в каждой области — линейная), поэтому уравнение даёт в каждой из шести внешних областей некую прямую; их пересечения дают максимум шесть вершин образующегося замкнутого многоугольника. При возрастании $k$ этот шестиугольник растёт (линейно по масштабу).
Итоговое сжатое правило:
- $k<h_{\min }$ — пусто;
- $k=h_{\min }$ — вершина(ы) (вырождение);
- $h_{\min }<k\le h_{\max }$ — внутренний треугольник, подобный $ABC$ (вырождается в вершину при краевых $k$);
- $k>h_{\max }$ — выпуклый шестиугольник с рёбрами, параллельными сторонам $ABC$ (вырождается в треугольник при $k=h_{\max }$).
(Все геометрические переходы — вырождения граней/вершин при совпадениях высот; частный случай равностороннего треугольника: для $k=h$ весь внутренний треугольник совпадает с $ABC$.)