Коротко: школьный курс даёт практические критерии подобия и интуитивные доказательства; университетский курс повышает строгость аксиоматически и расширяет инструментарий (аналитика, алгебра, преобразования), устраняет неявные допущения и рассматривает обобщения.
Основные различия.
1) Цели и допущения
- Школа: цель — дать запоминаемые критерии (AA, SAS, SSS) и применять их в задачах. Часто принимаются интуитивные факты (например, свойства параллельных прямых, подобие треугольников в результате параллельности) без строгой редукции к аксиомам.
- Университет: требуется формализация — точно определить, что такое подобие (например, существует отображение $f$, такое что для всех точек $X,Y$ выполнено $d(f(X),f(Y))=kd(X,Y)$ для некоторого $k>0$), доказать свойства (эквивалентность критериев), указать необходимые и достаточные условия и разобрать вырождённые случаи.
2) Методы доказательства
- Школа: плоскостная геометрия, угол-угловое (AA), пропорции от параллельных прямых (теорема Талеса), элементарные построения; часто без явного использования координат или векторного языка.
- Университет: добавляют аналитические и алгебраические методы: координатная геометрия (задаём вершины, проверяем пропорции координатами), векторный подход, матричный/линейно-алгебраический формализм (подобие как отображение $x\mapsto kRx+t$, где $R$ — ортогональная матрица), комплексные числа, преобразования (гомотетия + изометрия), тригонометрические доказательства через закон синусов $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$, использование площадей через векторное произведение $[ABC]=\frac{1}{2}|AB\times AC|$.
3) Ригор и обоснования
- Школа: часто опускаются доказательства некоторых лемм (например, существования и единственности гомотетии), допускается интуитивное использование измерений.
- Университет: доказывают вспомогательные леммы (интерсепт-теорема, свойства гомотетий), показывают, что AA действительно достаточна (строго сводят угол-угол к равенству углов и равенству отношений сторон), формально вводят понятие масштаба $k$ и доказывают его единственность: для подобных треугольников $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=k$.
4) Обработка крайних/особых случаев
- Школа: часто не обсуждаются вырождения (коллинеарность точек, нулевой угол), ориентация, знаковые отношения.
- Университет: учитывают ориентированные отрезки и знаковые отношения, рассматривают вырожденные треугольники и исключения, доказывают, что подобие — отношение эквивалентности на множестве невырожденных треугольников.
5) Концептуальные обобщения
- Университет открывает новые точки зрения: подобие как группа преобразований (группа similarities), связь с аффинной и евклидовой геометрией, перенос в другие метрические пространства (сферическая, гиперболическая геометрия — где критерии меняются), изучение подобия в ${\mathbb{R}}^n$ через линейные отображения вида $kR$.
- Также более глубокие следствия: поведение углов при гомотетии, сохранение отношений площадей $[A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }]=k^2[ABC]$, связь с комплексным умножением и ортогональными матрицами.
Примеры формул, которые обычно вводят на универ‑уровне:
- определение подобия через масштабную функцию $f$: $\forall X,Yd(f(X),f(Y))=kd(X,Y)$;
- равенство всех трёх отношений сторон: $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=k$;
- преобразление в координатах: $x\mapsto kRx+t$, где $R^{T}R=I$.
Краткий итог: школа даёт практические критерии и интуицию, университет добавляет строгие определения, доказательства «из аксиом», расширенный инструментарий (аналитика, линейная алгебра, теория преобразований), внимательную работу с частными и вырожденными случаями и более общие взгляды на понятие подобия.