Доказательство (классическое, с параллельной прямой).
Возьмём треугольник $ABC$. Через вершину $C$ проведём прямую $l$, параллельную стороне $AB$.
Обозначим углы треугольника $\angle A,\angle B,\angle C$. Углы, которые образуют прямые $AC$ и $BC$ с прямой $l$ по соответствующим сторонам, обозначим $\angle A^{\prime }$ и $\angle B^{\prime }$. По свойству параллельных прямых с секущими имеем
$$\angle A=\angle A^{\prime },\angle B=\angle B^{\prime }.$$ Углы $\angle A^{\prime },\angle C,\angle B^{\prime }$ лежат на одной прямой и вместе составляют развернутый угол, то есть
$$\angle A^{\prime }+\angle C+\angle B^{\prime }=180^{\circ }.$$ Подставляя равенства выше, получаем
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }.$$
Замечание: в этом доказательстве используется евклидовый аксиом (параллельный постулат). В неевклидовых геометриях сумма углов треугольника иная (на сфере больше $180^{\circ }$, в гиперболической — меньше).