Уточнение. Буду считать, что речь о медиане и биссектрисе, проведённых из одной и той же вершины B (т.е. рассматриваются прямые: медиана из B на AC и биссектриса угла B). Пусть из A опущены перпендикуляры на эти две прямые; обозначим их длины $d_1,d_2$. Найдём условие $d_1=d_2$ и исследуем геометрическое место точек $A$ при фиксированном основании $BC$.
Построение и обозначения. Положим $B=(0,0),C=(c,0)(c>0),A=(x,y)$ и обозначим $R=|BA|=\sqrt{x^2+y^2}$, угол $\angle ABC=\theta$ (т.е. $x=R\cos \theta ,y=R\sin \theta$).
Расчёт расстояний. Прямая медианы из $B$ проходит через середину $M$ отрезка $AC$, её наклон равен $m_1=\frac{y}{x+c}$. Биссектриса угла $B$ имеет направление с тангенсом $\tan \frac{\theta }{2}$, т.е. наклон $m_2=\frac{y}{x+R}$. Для прямой через $B$ с наклоном $m$ расстояние от $A(x,y)$ равно $\frac{|mx-y|}{\sqrt{m^2+1}}$. После упрощений получаем
$$d_1=\frac{Rc|\sin \theta |}{\sqrt{R^2+2cR\cos \theta +c^2}},d_2=R|\sin \frac{\theta }{2}|.$$
Равенство $d_1=d_2$ (при $y\ne 0$, т.е. невыравненном треугольнике) даёт после сокращения общих множителей и приведения к тригонометрическим формулам:
$$\frac{c}{\sqrt{R^2+2cR\cos \theta +c^2}}=\frac{1}{2\cos \frac{\theta }{2}}.$$ Возведение в квадрат и упрощение с использованием $\cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}-1$ даёт факторизацию
$$(R-c)(R+c+2c\cos \theta )=0.$$
Итак, условие равенства длин проекций эквивалентно одному из двух случаев:
1) $R=c$, т.е. $AB=BC$;
2) $R+c+2c\cos \theta =0$, т.е.
$$AB=-BC(1+2\cos \angle ABC).$$
Геометрическое место точек $A$ при фиксированном отрезке $BC$.
- Ветка 1: $AB=BC$. Это окружность с центром в $B$ и радиусом $BC$ (без точек на прямой $BC$, если исключить вырожденные случаи).
- Ветка 2: точки $A$ в полярных координатах относительно $B$ удовлетворяют уравнению
$$r(\theta )=-BC(1+2\cos \theta ),$$ где $r=|BA|$, $\theta =\angle ABC$. В декартовых координатах это эквивалентно уравнению
$$x^2+y^2+BC\sqrt{x^2+y^2}+2BCx=0.$$ (Это не окружность в общем случае; второе уравнение задаёт замкнутую кривую, симметричную относительно прямой $BC$; реализация точек возможна лишь при тех $\theta$, для которых правая часть даёт $r>0$.)
Замечания и исключения. Случай $y=0$ (точка $A$ лежит на $BC$) даёт тривиальные вырожденные проекции и рассматривается отдельно; при выводе мы предполагали $y\ne 0$. Вторая ветка возможна лишь при таких углах $B$, где $-BC(1+2\cos B)>0$ (т.е. $\cos B<-\frac{1}{2}$, $B>120^{\circ }$) — тогда соответствующие $A$ реально существуют.
Таким образом: проекции равны тогда и только тогда, когда либо $AB=BC$, либо $A$ принадлежит кривой, задаваемой полярным уравнением $r=-BC(1+2\cos \theta )$ (второй случай реализуется только при подходящих углах $B$).