Коротко и по существу.
1) Описание поверхностей
- Эллипсоид: $F(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0.$
- Однополосный гиперболоид: $G(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}-1=0.$
2) Метод аналитической геометрии (уровневая поверхность, градиент)
- Нормаль в точке $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ для уровня $F=0$ даётся градиентом: $\nabla F(P_0)$.
- Уравнение касательной плоскости: $\nabla F(P_0)\cdot (X-P_0)=0.$
Для эллипсоида конкретно:
$$\frac{x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{y_0}{b^2}(y-y_0)+\frac{z_0}{c^2}(z-z_0)=0.$$ Для гиперболоида аналогично, меняются знаки в коэффициентах по формуле градиента.
Пояснение: метод удобен, когда поверхность задана неявно $F(x,y,z)=0$; градиент всегда нормально ориентирован к уровням.
3) Метод дифференциальной геометрии (параметризация и касательное пространство)
- Параметризация эллипсоида (пример): $\mathbf{r}(u,v)=(a\sin u\cos v,b\sin u\sin v,c\cos u)$.
- Тангенциальные векторы: ${\mathbf{r}}_u,{\mathbf{r}}_v$. Касательная плоскость в точке задаётся линейной оболочкой $\mathrm{span}\{{\mathbf{r}}_u,{\mathbf{r}}_v\}$. Нормаль через векторное произведение: $\mathbf{n}={\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v.$
- Уравнение плоскости: $\mathbf{n}\cdot (X-\mathbf{r}(u_0,v_0))=0.$
Пояснение: метод даёт геометрическую структуру (первую/вторую фундаментальную формы, кривизны), полезен при изучении локальных свойств поверхности и интегрирования полей нормалей.
4) Сравнение методов
- Аналитический (градиент): прост и прямолинеен для неявно заданных квадрик; легко получить нормаль и уравнение касательной.
- Дифференциальная геометрия (параметры): даёт базис касательного пространства, позволяет работать с кривизной, потоками нормалей, геодезическими; необходима при более тонком анализе локального поведения (фокусировка, устойчивость, геометрические оптики высокого порядка).
- Эквивалентность: для гладкой неявной поверхности локально существует параметризация, и ${\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v$ пропорционален $\nabla F$, поэтому оба метода дают один и тот же нормальный вектор (до множителя).
5) Приложения в оптике — примеры
a) Фокусирующее свойство эллипсоида (отражение между фокусами)
- Эллипсоид как множество точек с постоянной суммой расстояний от фокусов: $|P-F_1|+|P-F_2|=\text{const}$. Дифференцируя сумму расстояний:
$$\nabla (|x-F_1|+|x-F_2|)=\frac{x-F_1}{|x-F_1|}+\frac{x-F_2}{|x-F_2|},$$ и для уровня эта сумма коллинеарна нормали. Значит нормаль в точке $P$ биссектриса угла между векторами $P-F_1$ и $P-F_2$. По закону отражения (углы инцидента и отражения равны относительно нормали) любой луч из $F_1$ после отражения от поверхности эллипсоида проходит через $F_2$. Это — фундаментальное применение касательной плоскости/нормали в проектировании зеркал и акустических отражателей.
b) Зеркальная система типа Кассегрена (гиперболоид вторичного зеркала)
- В практических телескопах первичное зеркало часто параболическое, вторичное — гиперболоид. Касательная плоскость в каждой точке вторичного зеркала даёт нормаль, по которой рассчитывают закон отражения и добиваются требуемой коллимации или фокусировки. Дифференциально-геометрический подход позволяет спроектировать форму вторичного зеркала так, чтобы объединённая система давала требуемое изображение и минимальные аберрации.
c) Местная плоская аппроксимация (приближение касательной) в трассировке лучей и в волновой оптике
- В численном трассинге луча поверхность в каждой точке заменяют её касательной плоскостью для вычисления направления отражённого/преломлённого луча: отражённый вектор $v_r=v_i-2(\hat{n}\cdot v_i)\hat{n}$, где $\hat{n}$ — единичная нормаль, вычисляемая через $\nabla F$ или ${\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v$.
- Для анализа каустик и фокусных свойств важна вторая фундаментальная форма (кривизна поверхности): локальная геометрия касательной плоскости плюс кривизна задают расходимость/схождение пучка и формирование caustics.
6) Короткие примеры уравнений
- Эллипсоид касательная (повтор): в точке $(x_0,y_0,z_0)$ $$\frac{x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{y_0}{b^2}(y-y_0)+\frac{z_0}{c^2}(z-z_0)=0.$$ - Градиент → нормаль: $\mathbf{n}=\nabla F(P_0)$. Отражение: для единичной нормали $\hat{n}=\mathbf{n}/|\mathbf{n}|$ и входящего направления ${\hat{v}}_i$,
$${\hat{v}}_r={\hat{v}}_i-2(\hat{n}\cdot {\hat{v}}_i)\hat{n}.$$
Вывод: аналитический метод (градиент/уровни) дает быстрое уравнение касательной и нормали; дифференциальная геометрия даёт базис касательного пространства и информацию о кривизне, необходимую для анализа фокусировки и аберраций. В оптике касательная плоскость (нормаль) — ключевое звено при применении закона отражения/преломления, при проектировании зеркал (эллипсоид, гиперболоид, параболоид) и в численном трассинге лучей.