Кратко: если точки $P_1,P_2,P_3$ находятся точно на одной окружности, то центр и радиус однозначно определяются без дополнительного условия; если задано дополнительно, что один из центральных (проводящих) углов (например угол между радиусами к $P_1$ и $P_2$) равен $\theta$, то это даёт жёсткое геометрическое соотношение и сводит задачу к простому построению (с двумя симметричными вариантами центра). Ниже — формулы, алгоритм и обсуждение устойчивости к погрешностям.
1) Геометрическое решение (точные точки, угол между радиусами к $P_1,P_2$ равен $\theta$)
- Обозначим $d=|P_1{P}_2|$, середину отрезка $M=\frac{P_1+P_2}{2}$.
- Если угол между радиусами к $P_1,P_2$ равен $\theta$, то длина хорды $d$ связана с радиусом $r$ как
$$d=2r\sin \frac{\theta }{2}\Rightarrow r=\frac{d}{2\sin (\theta /2)}.$$ (Если $\sin (\theta /2)=0$ — частный случай: $\theta =0$ или $2\pi$, конструкция не имеет смысла.)
- Центр лежит на перпендикуляре к $P_1{P}_2$ через $M$, на расстоянии
$$h=\sqrt{r^2-(d/2{)}^2}=r\cos \frac{\theta }{2}$$ от $M$. Направление перпендикуляра можно взять единичным вектором $u$ (поворот вектора $P_2-P_1$ на $90^{\circ }$ и нормировка). Тогда два кандидата для центра:
$$C_{\pm }=M\pm uh=M\pm ur\cos \frac{\theta }{2}.$$ - Проверка: для каждого $C_{\pm }$ проверить, удовлетворяет ли третья точка: $|P_3-C_{\pm }|=r$. Если да — найден центр и радиус. Если ни один не удовлетворяет — ровного решения нет (данные и условие противоречат).
2) Случай приближённых (шумных) измерений
- Простейший практический подход:
1. Вычислить $d$, затем $r$ по формуле выше (если $\sin (\theta /2)$ слишком мал — осторожно).
2. Получить два кандидата $C_{\pm }$ как выше.
3. Для каждого вычислить остаток для третьей точки: ${\Delta }_{\pm }=|P_3-C_{\pm }|-r$. Выбрать тот центр, где $|\Delta |$ минимальна; при малой погрешности это будет корректный выбор.
- Если данные сильно зашумлены или хотите оптимальное приближение, решать оптимизационную задачу (например, взвешенный МНК) с учётом углового ограничения:
$$\underset{C,r}{\min }\sum _{i=1}^3(|P_i-C|-r{)}^2\text{при условии}(P_1-C)\cdot (P_2-C)=r^2\cos \theta ,$$ либо в слабой форме ввести штраф: $\min \sum (|P_i-C|-r{)}^2+\lambda ((P_1-C)\cdot (P_2-C)-r^2\cos \theta {)}^2$.
Решение — численно (например, метод Ньютона или LM).
3) Устойчивость и чувствительность
- Пути чувствительности:
- $r=\frac{d}{2\sin (\theta /2)}$, поэтому
$$\frac{\partial r}{\partial d}=\frac{1}{2\sin (\theta /2)},\frac{\partial r}{\partial \theta }=-\frac{d\cos (\theta /2)}{4{\sin }^2(\theta /2)}.$$ Приближённая погрешность:
$$\Delta r\approx \frac{1}{2\sin (\theta /2)}\Delta d-\frac{d\cos (\theta /2)}{4{\sin }^2(\theta /2)}\Delta \theta .$$ - Следствие: большой рост ошибок при $\sin (\theta /2)\to 0$ (т.е. при малых $\theta$). Тогда малая ошибка в $\theta$ или $d$ даёт большую ошибку в $r$.
- Сдвиг центра $C=M\pm ur\cos (\theta /2)$. Погрешности в $r$ и $\theta$ приводят к погрешностям порядка $|\Delta C|\sim |\Delta r|\cdot |\cos (\theta /2)|+r\cdot |\sin (\theta /2)|\cdot \Delta \theta$ (оценочно). Опять проблема при малом $\sin (\theta /2)$.
- Другие плохо обусловленные случаи:
- $P_1$ и $P_2$ почти совпадают ($d\approx 0$) — численная нестабильность.
- Заданный $\theta$ слишком мал (радиус огромен) — чувствительность к шуму возрастает.
- Если $\theta$ и положение $P_1,P_2$ таковы, что подкоренное выражение отрицательно — решения нет.
- Практические рекомендации:
- Если $\theta /2$ близко к $0$, не полагаться на эту конструкцию: лучше использовать больше точек и МНК.
- Использовать двойную точность, аккуратно нормировать векторы, избегать вычитаний близких чисел.
- Для шумных данных — сначала подобрать центр/радиус приближённо (МНК без ограничения), затем при необходимости наложить ограничение $\theta$ через штраф или как начальное приближение и выполнить итеративную коррекцию.
- Всегда проверять оба знака $C_{\pm }$.
Краткая сводка: точный алгоритм — вычислить $r=\frac{d}{2\sin (\theta /2)}$, затем $C=M\pm ur\cos (\theta /2)$ и проверить третью точку. Устойчивость плоха при малых $\theta$ или при близких $P_1,P_2$; для шумных данных предпочтительна численная оптимизация с учётом($/$ослаблением) углового ограничения.