Ищем общую касательную в виде линии $y=mx+q$. Условие касания к параболе $y=a{x}^2+bx+c$: квадратное уравнение
$$a{x}^2+(b-m)x+(c-q)=0$$ имеет двойной корень, т.е. дискриминант равен нулю:
$$(b-m{)}^2-4a(c-q)=0.$$ Аналогично для второй параболы:
$$(b^{\prime }-m{)}^2-4a^{\prime }(c^{\prime }-q)=0.$$ Отсюда либо выражаем $q$ и приравниваем, либо вычитаем второе из первого и получаем уравнение для $m$:
$$\frac{(b-m{)}^2}{4a}-\frac{(b^{\prime }-m{)}^2}{4a^{\prime }}=c-c^{\prime }.$$ После приведения к общему знаменателю получаем алгебраическое уравнение
$$(a^{\prime }-a)m^2+2(a{b}^{\prime }-a^{\prime }b)m+(a^{\prime }{b}^2-a{b}^{\prime 2}-4a{a}^{\prime }(c-c^{\prime }))=0.$$ Условия существования и способ нахождения:
- Если $a^{\prime }\ne a$: это квадратное уравнение по $m$. Общая касательная существует тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен; каждое вещественное решение $m$ даёт один общий касательную; соответствующий $q$ находится из, например,
$$q=c-\frac{(b-m{)}^2}{4a}.$$ Точки касания: для первой параболы $x=\frac{m-b}{2a}$, для второй $x^{\prime }=\frac{m-b^{\prime }}{2a^{\prime }}$.
- Если $a^{\prime }=a$ и $b^{\prime }\ne b$: уравнение для $m$ вырождается в линейное; решаем его явно и далее находим $q$ как выше.
- Если $a^{\prime }=a$ и $b^{\prime }=b$: тогда из равенства для $q$ следует $c=c^{\prime }$. Если $c=c^{\prime }$ параболы совпадают — бесконечно много общих касательных; если $c\ne c^{\prime }$ — общих касательных нет.
Альтернативный метод (параметризация касательных): касательная к первой параболе в точке $t$ имеет вид
$$y=(2at+b)x+(c-a{t}^2),$$ аналогично для второй с параметром $s$. Общая касательная ищется как решение системы
$$2at+b=2a^{\prime }s+b^{\prime },c-a{t}^2=c^{\prime }-a^{\prime }{s}^2,$$ что даёт те же условия на существование.
Геометрический смысл: найденная прямая касается обеих парабол в (возможно разных) точках — это общая опорная прямая двух кривых. Число таких прямых для парабол вида $y=a{x}^2+bx+c$ не превосходит 2 (за исключением совпадающих парабол).