Векторное доказательство
Пусть вершины тетраэдра заданы радиус-векторами $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$. Обозначим центры тяжести (медианы) противоположных граней:
$${\mathbf{m}}_A=\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{3},{\mathbf{m}}_B=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{3},\dots$$ Рассмотрим отрезок от вершины $A$ к центру грани $BCD$: точки на нём задаются как
$$\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}+t\left({\mathbf{m}}_A-\mathbf{a}\right)=\mathbf{a}+t\left(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{3}-\mathbf{a}\right).$$ При $t=\frac{3}{4}$ получаем
$$\mathbf{x}\left(\frac{3}{4}\right)=\mathbf{a}+\frac{3}{4}(\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{3}-\mathbf{a})=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{4}.$$ Аналогично из средней точки любой другой грани следует то же значение. Следовательно все медианы пересекаются в одной точке
$$\mathbf{g}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}}{4},$$ и при этом эта точка делит каждую медиану в отношении
$$AG:G{M}_A=\frac{3}{1},$$ поскольку $\mathbf{g}=\frac{1}{4}\mathbf{a}+\frac{3}{4}{\mathbf{m}}_A$, т.е. $AG=\frac{3}{4}A{M}_A$, $G{M}_A=\frac{1}{4}A{M}_A$.
Классическое (синтетическое) доказательство — идея и схема
Классически доказывают так: берут две медианы (например $A{M}_A$ и $B{M}_B$) и показывают их пересечение $G$ (например, с помощью подобия или равновесия масс в плоскостях). Затем с помощью симметрий/гомотетий или соотношений объёмов доказывают, что тот же $G$ принадлежит и остальным медианам и делит их в отношении $3:1$. Частая схема — провести параллельные сечения, воспользоваться однородностью объёмов малых тетраэдров или применить гомотетию относительно центра грани: в правильном тетраэдре результат очевиден по симметрии, а затем применить аффинное отображение к общему тетраэдру (аффинные преобразования сохраняют соотношения барицентров).
Сравнение и преимущества векторного подхода при обобщениях
- Простота и краткость: векторный (или координатный/аффинный) расчёт даёт прямую формулу центра $\mathbf{g}=\frac{1}{4}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d})$ и явным образом показывает отношение $3:1$.
- Универсальность: тот же аргумент переносится на n‑мерные простексы. Для $n$-симплекса с вершинами ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_{n+1}$ центр масс есть
$$\mathbf{g}=\frac{1}{n+1}\sum _{i=1}^{n+1}{\mathbf{v}}_i,$$ и медиана от ${\mathbf{v}}_1$ к центру противоположной грани делится в отношении $n:1$.
- Аффинно-инвариантен: векторный/барицентрический подход работает при любых аффинных преобразованиях (нет нужды в метрических соображениях или симметрии).
- Удобство для вычислений и весовых обобщений: легко вводить веса (массы) в вершинах, получать барицентрические координаты, решать задачи с неоднородным распределением массы.
- Масштабируемость: позволяет прямо работать в произвольной размерности и с произвольными числами вершин (простые замены формул дают общие утверждения).
Итого: синтетическое доказательство даёт геометрическое понимание, векторный метод даёт компактность, явные формулы и удобство для обобщений (n‑измерные случаи, веса, аффинные преобразования).